Responda detalhadamente as questões a seguir.
Defina a energia cinética de objeto que descreve o movimento de rolamento.

Passo 1

O enunciado pede que eu defina a energia cinética de um objeto que descreve movimento de rolamento.
Informações e perguntas claras:
  • Pergunta: “Defina a energia cinética de objeto que descreve o movimento de rolamento.”
  • Não há outros dados numéricos. Devem ser apresentadas a expressão geral da energia cinética para um corpo que se desloca e gira (rolamento), a explicação dos termos e quando é possível relacionar translacional e rotacional.

Passo 2

Ideia física básica (passo preguiçoso e depois a matemática): um objeto que rola sem deslizar tem simultaneamente:
  • movimento de translação do seu centro de massa (toda a massa se desloca);
  • movimento de rotação em torno do centro de massa (cada ponto do corpo gira com velocidade relativa ao centro).
    Por isso a energia cinética total soma a contribuição de translação e a contribuição de rotação. Vou chamar:
  • M a massa total do corpo;
  • v_{\rm cm} a velocidade do centro de massa;
  • \omega a velocidade angular do corpo (módulo, em rad/s);
  • R o raio (quando for um corpo circular que rola);
  • I_{\rm cm} o momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa pelo centro de massa (para o eixo de rotação relevante).
Explanação física do que cada termo representa:
  • A energia associada ao deslocamento do centro de massa é a energia cinética translacional, igual à que teria uma partícula de massa M movendo-se com velocidade v_{\rm cm}.
  • A energia associada à rotação em torno do centro de massa é a energia cinética rotacional, que depende de como a massa está distribuída (isto é I_{\rm cm}) e da velocidade angular \omega.

Passo 3

Expressão integral da energia cinética (a maneira “rígida” e completa): considere um elemento de massa dm localizado em posição relativa \mathbf{r}' ao centro de massa. A velocidade desse elemento é a soma da velocidade do centro de massa e da velocidade relativa por rotação:
\mathbf{v}(\mathbf{r}') = \mathbf{v}_{\rm cm} + \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}'.
A energia cinética total do corpo é a soma (integral) das energias dos elementos:
K=\tfrac12\int v(\mathbf{r}')^{2}\,dm.

Passo 4

Expandindo o quadrado da velocidade:
v^{2} = \mathbf{v}_{\rm cm}^{2} + 2\,\mathbf{v}_{\rm cm}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}') + (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}')^{2}.
Integrando cada termo sobre a massa:
K=\tfrac12\int \mathbf{v}_{\rm cm}^{2}\,dm +\tfrac12\int 2\,\mathbf{v}_{\rm cm}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}')\,dm +\tfrac12\int (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}')^{2}\,dm.

Passo 5

Simplificação do primeiro e do segundo termos:
  • O primeiro termo é simples porque \mathbf{v}_{\rm cm} não depende de dm:
\tfrac12\int \mathbf{v}_{\rm cm}^{2}\,dm = \tfrac12 M \mathbf{v}_{\rm cm}^{2} = \tfrac12 M v_{\rm cm}^{2}.
  • O segundo termo anula-se porque a posição relativa média ponderada por massa em relação ao centro de massa é zero:
\int \mathbf{r}'\,dm = \mathbf{0} \quad\Rightarrow\quad \int \mathbf{v}_{\rm cm}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}')\,dm = \mathbf{v}_{\rm cm}\cdot\bigl(\boldsymbol{\omega}\times\int\mathbf{r}'\,dm\bigr)=0.
Portanto não sobra contribuição mista.

Passo 6

Interpretação do terceiro termo como energia rotacional:
  • Definição do momento de inércia em relação ao eixo de rotação que passa pelo centro de massa: para rotação em torno de um eixo fixo, o momento de inércia é
I_{\rm cm}=\int r_{\perp}^{\prime 2}\,dm,
onde r_{\perp}' é a distância perpendicular do elemento de massa ao eixo.
  • O termo \tfrac12\int(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}')^{2}\,dm é exatamente a energia cinética rotacional e fica
\tfrac12\int(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}')^{2}\,dm = \tfrac12 I_{\rm cm}\omega^{2}.
Aqui \omega é o módulo de \boldsymbol{\omega} e a expressão vale quando o eixo de rotação é principal (caso usual em rolamento).

Passo 7

Conclusão: soma das partes translacional e rotacional. A energia cinética total de um corpo rígido em rolamento é
K=\tfrac12 M v_{\rm cm}^{2} + \tfrac12 I_{\rm cm}\omega^{2}.
Esta é a fórmula fundamental: primeiro termo = energia de translação do CM; segundo termo = energia de rotação em torno do CM.

Passo 8

Caso de rolamento sem deslize (rolamento puro): existe a relação geométrica entre \omega e v_{\rm cm}:
v_{\rm cm}=\omega R.
Substituindo \omega = v_{\rm cm}/R na expressão de K podemos escrevê-la inteiramente em função de v_{\rm cm}:
K=\tfrac12 M v_{\rm cm}^{2} + \tfrac12 I_{\rm cm}\left(\frac{v_{\rm cm}}{R}\right)^{2} = \tfrac12 M v_{\rm cm}^{2}\left(1+\frac{I_{\rm cm}}{M R^{2}}\right).
Esse formato é útil em testes e problemas práticos, porque reduz a energia total a um fator multiplicativo da energia translacional.

Passo 9

Exemplos práticos (valores clássicos de I_{\rm cm} e a energia resultante; útil para provas):
  • Cilindro maciço de raio R: I_{\rm cm}=\tfrac12 M R^{2}. Então
K=\tfrac12 M v^{2}\Bigl(1+\tfrac12\Bigr)=\tfrac34 M v^{2}.
  • Cilindro fino (casca) / aro fino: I_{\rm cm}=M R^{2}. Então
K=\tfrac12 M v^{2}\bigl(1+1\bigr)=M v^{2}.
  • Esfera maciça: I_{\rm cm}=\tfrac25 M R^{2}. Então
K=\tfrac12 M v^{2}\Bigl(1+\tfrac25\Bigr)=\tfrac{7}{10}M v^{2}.
  • Casca esférica fina: I_{\rm cm}=\tfrac23 M R^{2}. Então
K=\tfrac12 M v^{2}\Bigl(1+\tfrac23\Bigr)=\tfrac{5}{6}M v^{2}.
Esses resultados mostram como a distribuição de massa altera a fração de energia que é rotacional.

Passo 10

Aplicação rápida com conservação de energia (para lembrar na prova): um objeto que rola sem deslizar descendo uma altura h conserva energia (sem atrito dissipativo): M g h = K. Usando a forma com v,
M g h = \tfrac12 M v^{2}\left(1+\frac{I_{\rm cm}}{M R^{2}}\right) \quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{2 g h}{1+\dfrac{I_{\rm cm}}{M R^{2}}}.
Isso é muito usado para comparar velocidades finais de corpos diferentes rolando pela mesma rampa (o que tem menor I_{\rm cm}/(MR^{2}) chega mais rápido).

Passo 11

Observações finais e dicas de prova (empático e curto):
  • A fórmula K=\tfrac12 M v_{\rm cm}^{2} + \tfrac12 I_{\rm cm}\omega^{2} vale sempre para corpo rígido em movimento geral (translação + rotação) e é a resposta que normalmente o professor quer.
  • Se o problema disser “rolamento sem deslizamento”, substitua \omega = v_{\rm cm}/R para escrever K só em termos de v_{\rm cm}.
  • Se houver deslizamento, não use v_{\rm cm}=\omega R: haverá dissipação e a energia total pode diminuir por atrito.
    Força aí — memorize a fórmula, saiba calcular I_{\rm cm} para os corpos mais comuns e pronto: prova dominada.

Resposta

K=\tfrac12 M v_{\rm cm}^{2} + \tfrac12 I_{\rm cm}\omega^{2}
\text{(para rolamento puro: }K=\tfrac12 M v_{\rm cm}^{2}\Bigl(1+\dfrac{I_{\rm cm}}{M R^{2}}\Bigr)\text{)}

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