Responda
ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Se A é uma matriz inversível de ordem n e
é uma matriz coluna
, então a equação matricial
tem uma única solução.
Se A é uma matriz inversível de ordem n e
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada invertível de ordem
e
é um vetor coluna de tamanho
. Pede-se analisar a equação matricial
e verificar se ela tem solução única. O conteúdo aqui é sistemas lineares e a definição de matriz invertível:
é invertível se existe
tal que
.
Passo 2
Como
é invertível, multiplicamos a equação pela esquerda por
:
pelo associativo, isso dá
logo
Isso mostra que existe pelo menos uma solução, a saber
.
Passo 3
Para ver que não pode haver duas soluções distintas, suponha que
e
resolvam
. Então
Subtraindo essas duas igualdades,
Multiplicando por
obtém-se
e daí
Logo não há duas soluções distintas.
Resposta
Verdadeiro. A solução é única e dada por