Responda V ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Se A é uma matriz inversível de ordem n e B é uma matriz coluna n times 1, então a equação matricial A X=B tem uma única solução.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada invertível de ordem n e B é um vetor coluna de tamanho ntimes1. Pede-se analisar a equação matricial
A,X = B
e verificar se ela tem solução única. O conteúdo aqui é sistemas lineares e a definição de matriz invertível: A é invertível se existe A^-1 tal que A^-1A=I.

Passo 2

Como A é invertível, multiplicamos a equação pela esquerda por A^-1:
A^-1(A,X) ;=; A^-1B
pelo associativo, isso dá
(I),X = A^-1B
logo
X = A^-1B
Isso mostra que existe pelo menos uma solução, a saber X = A^-1B.

Passo 3

Para ver que não pode haver duas soluções distintas, suponha que X1 e X2 resolvam A,X=B. Então
A,X1 = B e A,X2 = B
Subtraindo essas duas igualdades,
A,(X1 - X2) = 0
Multiplicando por A^-1 obtém-se
X1 - X2 = A^-10 = 0
e daí
X1 = X2
Logo não há duas soluções distintas.

Resposta

Verdadeiro. A solução é única e dada por
X = A^-1B

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