Responda V ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Para qualquer valor de theta real, a matriz
(cc cos theta & -sin theta sin theta & cos theta )
é chamada matriz de rotação (de ângulo theta no sentido anti-horário). Afirmação: Toda matriz de rotação tem determinante 1.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de rotação de ângulo theta no plano,
R(theta) = costheta & -sintheta sintheta & costheta ,
e pede para verificar se sempre vale det R(theta)=1. Para isso vamos usar a fórmula do determinante de uma matriz 2times2 e a identidade trigonométrica cos^2theta+sin^2theta=1.

Passo 2

A fórmula do determinante de uma matriz
a & b c & d
é
deta & b c & d=ad-bc
Aplicamos com a=costheta, b=-sintheta, c=sintheta, d=costheta.

Passo 3

Substituindo na fórmula:
det R(theta) =costhetacdotcostheta ;-;(-sintheta)cdotsintheta =cos^2theta + sin^2theta
Pela identidade trigonométrica cos^2theta+sin^2theta=1, concluímos que
det R(theta)=1

Passo 4

Como não houve nenhuma restrição em theta, esse cálculo vale para todo thetainR. Logo, a afirmação é verdadeira.

Resposta

V

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