Responda
ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Para qualquer valor de
real, a matriz
é chamada matriz de rotação (de ângulo
no sentido anti-horário). Afirmação: Toda matriz de rotação tem determinante 1.
Para qualquer valor de
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz de rotação de ângulo
no plano,
e pede para verificar se sempre vale
. Para isso vamos usar a fórmula do determinante de uma matriz
e a identidade trigonométrica
.
Passo 2
A fórmula do determinante de uma matriz
é
é
Aplicamos com
,
,
,
.
Passo 3
Substituindo na fórmula:
Pela identidade trigonométrica
, concluímos que
Passo 4
Como não houve nenhuma restrição em
, esse cálculo vale para todo
. Logo, a afirmação é verdadeira.
Resposta
V