Vale a recíproca do item (18) da Questão 2 para as matrizes de ordem 2? Ou seja, se uma matriz de ordem 2 tem determinante igual a 1, então ela é uma matriz de rotação?
Passo 1
O enunciado pergunta se a recíproca do fato “se é matriz de rotação de ordem então ” também vale, ou seja, se toda matriz com é necessariamente uma matriz de rotação. O conteúdo envolve os grupos (matrizes ortogonais com determinante ) e (matrizes de determinante ).
Passo 2
Recordando a definição, uma matriz é uma matriz de rotação (ou elemento de ) se, e somente se, satisfaz
e
A condição garante que é ortogonal (preserva produto escalar) e que não inverte orientação.
Passo 3
O item () afirma a direção “ de rotação ”. Isso é verdade porque, de segue e, escolhendo a componente contínua que contém a identidade, temos .
Passo 4
Para a recíproca “ é rotação” seria preciso que implicasse também . Mas basta um contraexemplo:
Logo A não é ortogonal e não descreve uma rotação no plano.
Passo 5
Concluímos que ter apenas det A=1 não garante a propriedade de conservar comprimentos e ângulos, característica essencial das rotações.
Resposta
Não. A recíproca é falsa: existem matrizes 2times2 com det A=1 que não são ortogonais e, portanto, não são matrizes de rotação (por exemplo, uma matriz de cisalhamento).