Vale a recíproca do item (18) da Questão 2 para as matrizes de ordem 2? Ou seja, se uma matriz de ordem 2 tem determinante igual a 1, então ela é uma matriz de rotação?

Passo 1

O enunciado pergunta se a recíproca do fato “se A é matriz de rotação de ordem 2 então det A=1” também vale, ou seja, se toda matriz 2times2 com det A=1 é necessariamente uma matriz de rotação. O conteúdo envolve os grupos SO(2) (matrizes ortogonais com determinante 1) e SL(2,R) (matrizes de determinante 1).

Passo 2

Recordando a definição, uma matriz Ain M2(R) é uma matriz de rotação (ou elemento de SO(2)) se, e somente se, satisfaz
A^TA = I
e
det A = 1
A condição A^TA=I garante que A é ortogonal (preserva produto escalar) e det A=1 que não inverte orientação.

Passo 3

O item ( 18) afirma a direção “ A de rotação implies det A=1”. Isso é verdade porque, de A^TA=I segue det(A)^2=1 e, escolhendo a componente contínua que contém a identidade, temos det A=1.

Passo 4

Para a recíproca “ det A=1 implies A é rotação” seria preciso que det A=1 implicasse também A^TA=I. Mas basta um contraexemplo:
A = 1 & 1 0 & 1
Calculamos det A = 1cdot1 - 0cdot1 = 1, mas
A^TA = 1 & 0 1 & 1 1 & 1 0 & 1 = 1 & 1 1 & 2 neq I
Logo A não é ortogonal e não descreve uma rotação no plano.

Passo 5

Concluímos que ter apenas det A=1 não garante a propriedade de conservar comprimentos e ângulos, característica essencial das rotações.

Resposta

Não. A recíproca é falsa: existem matrizes 2times2 com det A=1 que não são ortogonais e, portanto, não são matrizes de rotação (por exemplo, uma matriz de cisalhamento).

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