Responda V ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Se A é uma matriz inversível de ordem n e se 0 denota a matrix coluna n times 1 com entradas todas nulas, então a matriz X=0 é a única solução do sistema A X=0.

Passo 1

O enunciado afirma que A é uma matriz invertível de ordem n e que queremos resolver o sistema homogêneo
A,X = 0,
onde 0 é o vetor coluna ntimes1 de entradas todas nulas. O conteúdo é teoria de sistemas lineares homogêneos e propriedades de matrizes inversíveis.

Passo 2

Como A é invertível, existe a matriz inversa A^-1 satisfazendo
A^-1A = In,
onde In é a matriz identidade de ordem n.

Passo 3

Multiplicamos a equação A,X = 0 à esquerda por A^-1:
A^-1(A,X) ;=; A^-10 Longrightarrow (In)X = 0 Longrightarrow X = 0

Passo 4

Isso mostra que qualquer vetor X que satisfaça A,X=0 deve ser necessariamente X=0. Logo, a única solução do sistema homogêneo é o vetor nulo.

Resposta

Verdadeiro.

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