Responda V ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Para A matriz quadrada qualquer, tem-se (A^t)^t=A, onde o sobrescrito t indica transposição de matriz.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se, para qualquer matriz quadrada A, vale
l(A^tr)^t = A
O conteúdo é a definição de transposta de matriz e a técnica será mostrar que ambos os lados têm a mesma entrada genérica.

Passo 2

Seja A=(aij) uma matriz quadrada de ordem n. Por definição a transposta A^t é a matriz B=(bij) também de ordem n, cujas entradas são
bij = aji para todo i,j=1,dots,n

Passo 3

Agora considere l(A^tr)^t. Chamando B=A^t, temos l(A^tr)^t=B^t. As entradas de B^t são
(B^t)ij = bji
Mas bji=aij pela definição de B=A^t. Logo
(B^t)ij = aij para todo i,j

Passo 4

Concluímos que l(A^tr)^t tem exatamente as mesmas entradas de A. Como ambas são matrizes de mesma ordem, segue-se que
l(A^tr)^t = A

Resposta

V

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