Responda V ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Se A e B são matrizes de mesma ordem e antissimétricas, então A B é matriz antissimétrica.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem que são antissimétricas, o produto AB também é antissimétrico. O conteúdo envolvido é a definição de matriz antissimétrica e a propriedade do transposto de um produto.

Passo 2

Lembramos que uma matriz M é antissimétrica se e somente se
M^T = -M

Passo 3

Se A e B são antissimétricas, então
A^T = -A e B^T = -B
Logo, o transposto do produto é
(AB)^T = B^T,A^T = (-B)(-A) = BA

Passo 4

Para que AB fosse antissimétrica precisaríamos
(AB)^T = -,AB,
ou seja
BA = -,AB
Isso equivale a exigir que A e B anticometam, o que em geral não ocorre.

Passo 5

Contra-exemplo em ordem 2. Seja
A = B = 0 & 1 -1 & 0
Verifica-se imediatamente
A^T = -A, B^T = -B
Por outro lado
AB = 0 & 1 -1 & 0^!2 = -I2,
e
(AB)^T = (-I2)^T = -I2 = AB neq -,AB = I2
Assim, AB não é antissimétrica.

Resposta

F

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