Responda V ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Se A é uma matriz simétrica/antissimétrica e lambda in R, então lambda A é simétrica/antissimétrica.

Passo 1

O enunciado trata de Matrizes Simétricas e Antissimétricas e da ação de multiplicar por um escalar real lambda. Lembrando as definições:
A é simétrica iff A^T=A, A é antissimétrica iff A^T=-A éééé
Para resolver, usaremos a propriedade (lambda A)^T=lambda,A^T.

Passo 2

Suponha A simétrica, isto é A^T=A. Então
(lambda A)^T=lambda,A^T =lambda,A,
o que mostra que lambda A satisfaz (lambda A)^T=lambda A. Logo, lambda A é simétrica.

Passo 3

Suponha A antissimétrica, isto é A^T=-A. Então
(lambda A)^T=lambda,A^T =lambda,(-A) =-l(lambda Ar),
o que mostra que lambda A satisfaz (lambda A)^T=-(lambda A). Logo, lambda A é antissimétrica.

Resposta

Simétrica: Verdadeiro.
Antissimétrica: Verdadeiro.

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