Responda
ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Se
é inversível e se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, para uma matriz inversível
tal que
, obrigatoriamente vale
. O conteúdo é propriedade de determinantes e matrizes ortogonais (pois
define uma matriz ortogonal).
Passo 2
Lembramos duas propriedades básicas de determinantes para matriz quadrada
:
Como por hipótese
, temos
Passo 3
Substituindo as propriedades,
Logo não é forçoso que
; pode também ser
.
Passo 4
Contra-exemplo simples em dimensão
: seja
Então
, mas
.
Resposta
F. Contra-exemplo:
satisfaz
e
.