Responda V ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Se A é inversível e se A^-1=A^t, então det A=1.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma matriz inversível A tal que A^-1=A^t, obrigatoriamente vale det A=1. O conteúdo é propriedade de determinantes e matrizes ortogonais (pois A^-1=A^t define uma matriz ortogonal).

Passo 2

Lembramos duas propriedades básicas de determinantes para matriz quadrada A:
detl(A^tr)=det A,
detl(A^-1r)=1det A
Como por hipótese A^-1=A^t, temos
detl(A^-1r)=detl(A^tr)

Passo 3

Substituindo as propriedades,
1det A=det A Longrightarrow (det A)^2=1 Longrightarrow det A=pm1
Logo não é forçoso que det A=1; pode também ser -1.

Passo 4

Contra-exemplo simples em dimensão 1: seja
A = l[-1r]
Então A^-1=[-1]=A^t, mas det A=-1neq1.

Resposta

F. Contra-exemplo: A=[-1] satisfaz A^-1=A^t e det A=-1.

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