Responda os itens a seguir:
a) Qual matriz 3 times 3 troca a linha 3 pela linha 3 somada com a linha 1 ?
b) Qual matriz 3 times 3 troca a linha 3 pela linha 3 somada com a linha 1 , e também ao mesmo tempo, troca a linha 1 pela linha 1 somada com a linha 3 ?
c) Qual matriz 3 times 3 troca a linha 3 pela linha 3 somada com a linha 1 , e depois, troca a linha 1 pela linha 1 somada com a linha 3 ?

Passo 1

O enunciado pede para identificar matrizes elementares 3times3 que realizam certas operações de linha sobre uma matriz arbitrária A. Vamos usar a ideia de que uma operação “ Rito Ri + Rj” corresponde à multiplicação à esquerda por
E = I + Eij,
onde Eij é a matriz que tem 1 na posição (i,j) e zeros nas demais posições.

Passo 2

Para o item (a) queremos a matriz que faz
R3 ;longrightarrow; R3 + R1
Isso corresponde a
Ea ;=; I + E31,
ou seja, em forma explícita
Ea = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1

Passo 3

No item (b) pede-se uma única matriz que simultaneamente faça
R3 ;longrightarrow; R3 + R1 e R1 ;longrightarrow; R1 + R3,
onde ambas usam as linhas originais de A. Basta somar os dois deslocamentos:
Eb = I + E31 + E13 = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1

Passo 4

No item (c) as duas operações são feitas em sequência: primeiro
R3to R3+R1 (mu<iplicação por E1=I+E31), çã
depois
R1to R1+R3 (mu<iplicação por E2=I+E13), çã
onde agora a segunda usa a nova R3. A matriz resultante é
Ec ;=; E2,E1 =(I+E13)(I+E31) =I + E31 + E13 + E13E31
Como ;E13E31 tem apenas um 1 em (1,1), obtemos
Ec = 2 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1

Resposta

a) 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1
b) 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1
c) 2 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1

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