Responda, justificando em cada caso, as questões abaixo:
a) Qual das séries apresenta maior dispersão absoluta?
b) Qual das séries apresenta maior dispersão relativa?
c) Qual das séries apresenta maior dispersão?
  1. A:lbarXA=20 sigma(A)=2
    B:lbarXB=20 sigma(B)=5
  2. A:lbarXA=50 sigma(A)=2
    B: lbarXB=100 sigma(B)=3
  3. A:lbarXA=20 sigma^2(A)=9
    B:lbarXB=30 sigma^2(B)=16
  4. A:lbarXA=30 sigma(A)=5
    B:lbarXB=50 sigma^2(B)=9
  5. A:lbarXA=20 sigma^2(A)=9
    B:lbarXB=40 sigma(B)=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para comparar duas séries, A e B, em termos de dispersão absoluta, relativa e total. Dispersão é basicamente o quanto os dados estão espalhados. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a média, o desvio padrão (que mede a dispersão absoluta) e o coeficiente de variação (que mede a dispersão relativa). Vamos analisar cada caso um por um.

Passo 2

Caso 1:
  • Série A: Média ( barXA) = 20, Desvio padrão ( sigma(A)) = 2
  • Série B: Média ( barXB) = 20, Desvio padrão ( sigma(B)) = 5
a) Maior dispersão absoluta:
A dispersão absoluta é medida pelo desvio padrão. Comparando sigma(A) = 2 e sigma(B) = 5, a série B tem maior dispersão absoluta.
b) Maior dispersão relativa:
A dispersão relativa é o coeficiente de variação, que é o desvio padrão dividido pela média: CV = sigmabarX.
Para A: CVA = 220 = 0,1 ou 10%
Para B: CVB = 520 = 0,25 ou 25%
A série B tem maior dispersão relativa.
c) Maior dispersão:
Como ambas as séries têm a mesma média e B tem maior dispersão absoluta e relativa, a série B tem maior dispersão geral.

Passo 3

Caso 2:
  • Série A: Média ( barXA) = 50, Desvio padrão ( sigma(A)) = 2
  • Série B: Média ( barXB) = 100, Desvio padrão ( sigma(B)) = 3
a) Maior dispersão absoluta:
Comparando sigma(A) = 2 e sigma(B) = 3, a série B tem maior dispersão absoluta.
b) Maior dispersão relativa:
Calculando o coeficiente de variação:
Para A: CVA = 250 = 0,04 ou 4%
Para B: CVB = 3100 = 0,03 ou 3%
A série A tem maior dispersão relativa.
c) Maior dispersão:
A série B tem maior dispersão absoluta, mas a série A tem maior dispersão relativa. Dependendo do contexto, pode-se considerar ambas. Porém, geralmente, dizemos que a série B tem maior dispersão geral por ter desvio padrão maior.

Passo 4

Caso 3:
  • Série A: Média ( barXA) = 20, Variância ( sigma^2(A)) = 9
  • Série B: Média ( barXB) = 30, Variância ( sigma^2(B)) = 16
Primeiro, vamos lembrar que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância: sigma = raizsigma^2.
a) Maior dispersão absoluta:
Calculando o desvio padrão:
Para A: sigma(A) = raiz9 = 3
Para B: sigma(B) = raiz16 = 4
A série B tem maior dispersão absoluta.
b) Maior dispersão relativa:
Calculando o coeficiente de variação:
Para A: CVA = 320 = 0,15 ou 15%
Para B: CVB = 430 approx 0,133 ou 13,3%
A série A tem maior dispersão relativa.
c) Maior dispersão:
A série B tem maior dispersão absoluta, enquanto a série A tem maior dispersão relativa. Em geral, consideramos a série B como tendo maior dispersão.

Passo 5

Caso 4:
  • Série A: Média ( barXA) = 30, Desvio padrão ( sigma(A)) = 5
  • Série B: Média ( barXB) = 50, Variância ( sigma^2(B)) = 9
Primeiro, vamos encontrar o desvio padrão de B: sigma(B) = raiz9 = 3.
a) Maior dispersão absoluta:
Comparando sigma(A) = 5 e sigma(B) = 3, a série A tem maior dispersão absoluta.
b) Maior dispersão relativa:
Calculando o coeficiente de variação:
Para A: CVA = 530 approx 0,1667 ou 16,67%
Para B: CVB = 350 = 0,06 ou 6%
A série A tem maior dispersão relativa.
c) Maior dispersão:
A série A apresenta maior dispersão absoluta e relativa, então ela tem maior dispersão geral.

Passo 6

Caso 5:
  • Série A: Média ( barXA) = 20, Variância ( sigma^2(A)) = 9
  • Série B: Média ( barXB) = 40, Desvio padrão ( sigma(B)) = 3
Primeiro, encontramos o desvio padrão de A: sigma(A) = raiz9 = 3.
a) Maior dispersão absoluta:
Comparando sigma(A) = 3 e sigma(B) = 3, ambas as séries têm a mesma dispersão absoluta.
b) Maior dispersão relativa:
Calculando o coeficiente de variação:
Para A: CVA = 320 = 0,15 ou 15%
Para B: CVB = 340 = 0,075 ou 7,5%
A série A tem maior dispersão relativa.
c) Maior dispersão:
Embora as dispersões absolutas sejam iguais, a série A tem maior dispersão relativa, então podemos dizer que ela tem maior dispersão geral.

Resposta

Concluímos que, em todos os casos analisados, a série B geralmente possui maior dispersão absoluta, enquanto a série A tende a ter maior dispersão relativa. Porém, nos casos específicos 2 e 4, a série A também se destaca em termos de dispersão relativa ou geral. É importante sempre calcular ambos os tipos de dispersão para entender completamente como os dados estão distribuídos.

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