Sejam R^2 o espaço vetorial com as operações usuais e A, sua base canônica, e a base B=(1,3),(-2,-2) do R^2.
Calcule o vetor coordenada de v=(3,4) na base B , usando a matriz de transição [I]B^A.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas de v=(3,4) na base B=(1,3),,(-2,-2) de R^2, usando a matriz de transição [I]B^A (que leva coordenadas de B para coordenadas na base canônica A).

Passo 2

Primeiro montamos [I]B^A. Suas colunas são justamente as coordenadas, na base canônica, dos vetores de B. Logo,
[I]B^A = 1 & -2 3 & -2

Passo 3

Sejam . A relação entre coordenadas na base e na base é

Passo 4

Isso gera o sistema
x - 2y = 3, 3x - 2y = 4
Subtraindo a primeira equação da segunda, vem 2x=1, logo x=tfrac12.
Substituindo em x-2y=3
tfrac12 - 2y = 3 Longrightarrow -2y = tfrac52 Longrightarrow y = -tfrac54

Resposta

As coordenadas de v na base B são
[v]B = l(tfrac12,,-tfrac54r)

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