Responda o que se pede *
Um mol de gás ideal se expande isotermicamente até duplicar o tamanho do seu volume inicial. Para esta situação calcular o valor de \Delta \mathrm{S} sabendo que a entropia varia segundo a expressão:
\mathrm{ds}=\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{v}}}{\mathrm{~T}} \mathrm{dT}+\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{~V}} \mathrm{dV}
a) 2,76 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}.
b) 5,76 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}.
c) 12,4 \mathrm{~mol}^{-1}.
d) 32,05 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}.
e) 6.0 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia \Delta S para 1 mol de um gás ideal que se expande isotermicamente até duplicar seu volume inicial. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Quantidade de substância: n=1 mol.
  • Processo: expansão isotérmica (temperatura constante).
  • Volume final: V_f=2V_i (duplica o volume inicial V_i).
  • Relação diferencial dada para a entropia:
\mathrm{d}s=\frac{C_{v}}{T}\,\mathrm{d}T+\frac{R}{V}\,\mathrm{d}V.
O que é pedido: calcular \Delta S=\int \mathrm{d}s para o processo descrito.

Passo 2

Entendendo a expressão diferencial da entropia e os símbolos (aula rápida):
  • \mathrm{d}s é a variação infinitesimal de entropia molar (entropia por mol).
  • C_{v} é a capacidade calorífica molar a volume constante, em unidades de \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • R é a constante universal dos gases, com valor R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • V é o volume molar e \mathrm{d}V sua variação.
    A expressão diz que a variação infinitesimal de entropia tem duas contribuições: uma ligada à variação de temperatura e outra à variação de volume.

Passo 3

Aplicando a condição de processo isotérmico:
  • Em uma transformação isotérmica a temperatura permanece constante, portanto \mathrm{d}T=0.
  • Substituindo \mathrm{d}T=0 na expressão:
\mathrm{d}s=\frac{C_{v}}{T}\underbrace{\mathrm{d}T}_{=0}+\frac{R}{V}\,\mathrm{d}V=\frac{R}{V}\,\mathrm{d}V.
Ou seja, para um processo isotérmico a entropia molar varia apenas com o termo \dfrac{R}{V}\,\mathrm{d}V.

Passo 4

Integração para obter \Delta S:
  • A variação de entropia molar entre os volumes V_i e V_f é a integral
\Delta S=\int_{V_i}^{V_f}\mathrm{d}s=\int_{V_i}^{V_f}\frac{R}{V}\,\mathrm{d}V.
  • A integral de \dfrac{1}{V} é o logaritmo natural, então
\Delta S=R\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,\mathrm{d}V=R\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).

Passo 5

Substituindo a razão dos volumes (dobra do volume) e valores numéricos:
  • Como dado, V_f=2V_i, logo \dfrac{V_f}{V_i}=2.
  • Assim a expressão fica
\Delta S=R\ln 2.
  • Usando R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}} e \ln 2\approx 0{,}6931, tem-se
\Delta S \approx (8{,}314)\times(0{,}6931).
(Não repetir a resposta final neste passo; a multiplicação será apresentada na seção de resposta final.)

Resposta

b) 5{,}76\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}

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