Responda o que se pede *
Um mol de um gás de Van der Waals a 300 K expande-se isotérmica e reversivelmente de 10 L para 30 \mathrm{~L}\left(\mathrm{a}=5,49 \mathrm{~L} \mathrm{~atm} \mathrm{~mol}^{-1} ; \mathrm{b}=0,064 \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1}, \mathrm{R}=0,082 \mathrm{~atm} \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\right). Calcule o trabalho (w) sabendo que a equação de Van der Waals é dada por:
P=\frac{R T}{(V-b)}-\frac{a}{V^{2}}
a) 56 J .
b) 32 J .
c) 27 J .
d) 72 J .
e) 95 J .

Passo 1

O enunciado pede o trabalho reversível e isotérmico realizado por 1 mol de um gás de Van der Waals quando ele se expande de 10\\ \mathrm{L} para 30\\ \mathrm{L} à temperatura 300\\ \mathrm{K}. As constantes fornecidas (peguei estes números do enunciado) são:
  • n=1 mol (implícito: “Um mol”),
  • T=300\\ \mathrm{K},
  • V_1=10\\ \mathrm{L},
  • V_2=30\\ \mathrm{L},
  • a=5{,}49\\ \mathrm{L\\ atm\\ mol^{-1}},
  • b=0{,}064\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}},
  • R=0{,}082\\ \mathrm{L\\ atm\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
O que é pedido: calcular o trabalho w (num processo isotérmico e reversível) e escolher a alternativa correta entre:
a) 56\\ \mathrm{J}, b) 32\\ \mathrm{J}, c) 27\\ \mathrm{J}, d) 72\\ \mathrm{J}, e) 95\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Qual fórmula usar? Para um processo reversível, o trabalho realizado pelo sistema ao expandir de V_1 para V_2 é
w=-\int_{V_{1}}^{V_{2}} P_{\text{gas}}(V)\,dV,
onde, para o gás de Van der Waals (uma mol), a pressão como função do volume molar é dada pela equação do enunciado:
P(V)=\frac{R T}{(V-b)}-\frac{a}{V^{2}}.
Explicando devagar: o sinal negativo aparece porque o trabalho é definido como o trabalho realizado sobre o sistema; quando o gás expande ele realiza trabalho e w fica negativo. Para processo reversível usamos a pressão do gás na integral.

Passo 3

Substituindo P(V) na integral:
w=-\int_{V_{1}}^{V_{2}}\left(\frac{R T}{V-b}-\frac{a}{V^{2}}\right)\,dV.
Essa integral separa em duas integrais mais simples:
w=-R T\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{dV}{V-b}+a\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{dV}{V^{2}}.
Agora calculamos cada integral. A primeira integral é uma integral do tipo \int \frac{dV}{V-b}=\ln|V-b|. A segunda é \int V^{-2}dV=-\dfrac{1}{V}.
Portanto, avaliando entre V_1 e V_2,
w=-R T\left[\ln(V-b)\right]_{V_{1}}^{V_{2}}+a\left[-\frac{1}{V}\right]_{V_{1}}^{V_{2}}.
Simplificando:
w=-R T\ln\!\left(\frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}\right)+a\left(\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}\right).
Essa é a expressão fechada para o trabalho (por mol) em processo isotérmico reversível de Van der Waals.

Passo 4

Agora vamos substituir os números (tudo em unidades compatíveis L, atm, K, R em L·atm·mol{-1}·K{-1}). Primeiro calcule R T:
R T = 0{,}082\cdot 300 = 24{,}6\\ \mathrm{L\\ atm}.
Calcule V_1-b e V_2-b (peguei V_1, V_2 e b do enunciado):
V_{1}-b=10-0{,}064=9{,}936\\ \mathrm{L}, \qquad V_{2}-b=30-0{,}064=29{,}936\\ \mathrm{L}.
Calcule a razão e o logaritmo:
\frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}=\frac{29{,}936}{9{,}936}\approx 3{,}01288,
\ln\!\left(\frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}\right)\approx 1{,}102893.
Calcule a primeira parcela:
-R T\ln\!\left(\frac{V_{2}-b}{V_{1}-b}\right) = -24{,}6\times 1{,}102893 \approx -27{,}129\\ \mathrm{L\\ atm}.
Agora calcule a segunda parcela usando a=5{,}49\\ \mathrm{L\\ atm}:
\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30}=0{,}1-0{,}033333\ldots=0{,}066666\ldots = \frac{1}{15},
a\left(\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}\right)=5{,}49\times\frac{1}{15}=0{,}366\\ \mathrm{L\\ atm}.
Somando as parcelas (tudo em \mathrm{L\\ atm}):
w\approx -27{,}129+0{,}366=-26{,}763\\ \mathrm{L\\ atm}.

Passo 5

Converter para joules (1 \mathrm{L\\ atm}=101{,}325\\ \mathrm{J}):
w\approx -26{,}763\times 101{,}325\approx -2\,711{,}7\\ \mathrm{J}.
Interpretação física: o trabalho é negativo (o gás realiza trabalho sobre o entorno) e o módulo é aproximadamente 2{,}71\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Comparação com as alternativas fornecidas: as alternativas estão em joules e são valores pequenos (algumas dezenas de J). O valor calculado com unidade correta é -2{,}712\times 10^{3}\\ \mathrm{J}, que não coincide com as alternativas diretas em J. Se alguém avaliar o resultado em unidades de \mathrm{L\\ atm} (sem converter para J) obtém -26{,}76\\ \mathrm{L\\ atm}, cujo módulo é aproximadamente 27 (número) — a alternativa que corresponde numericamente a esse valor é a alternativa (c) 27\\ \mathrm{J}. Observação: essa coincidência numérica vem do fato de que o valor em \mathrm{L\\ atm} (aprox. 26{,}8) aparece como 27 e as opções foram apresentadas em J; a conversão correta para J dá \sim 2712\\ \mathrm{J}, que não está entre as alternativas.
Dado que a alternativa mais próxima do valor calculado na unidade não convertida é a (c), e considerando a forma como as opções foram apresentadas, a alternativa indicada é (c).

Resposta

c) 27 J

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