Responda o que se pede:
Expresse a área total e o volume de um prisma hexagonal regular com aresta da base x e aresta lateral y.

Passo 1

O enunciado pede duas expressões em função das arestas: a área total e o volume de um prisma hexagonal regular cuja aresta da base é x e cuja aresta lateral (altura do prisma) é y. Informações dadas que vamos usar:
  • A aresta da base (lado do hexágono regular) é \,x.
  • A aresta lateral (a altura do prisma) é \,y.
  • O prisma tem duas bases congruentes (os dois hexágonos) e seis faces laterais retangulares.

Passo 2

Entenda a base: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes, cada um com lado \,x. Então, se conseguimos a área de um desses triângulos, multiplicamos por 6 para obter a área da base do hexágono.

Passo 3

Área de um triângulo equilátero de lado \,x. Primeiro, calcule a altura do triângulo equilátero: ao traçar a altura, ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos com catetos \frac{x}{2} e a altura h, e hipotenusa x. Pelo teorema de Pitágoras:
h = \sqrt{x^2 - \left(\tfrac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{x^2 - \tfrac{x^2}{4}} = \sqrt{\tfrac{3x^2}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,x.
Área do triângulo equilátero (base \,x, altura \,h):
A_{\text{tri}} = \tfrac{1}{2}\cdot x \cdot h = \tfrac{1}{2}\cdot x \cdot \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right) = \tfrac{\sqrt{3}}{4}\,x^2.

Passo 4

Área da base (hexágono) = 6 vezes a área de um triângulo equilátero:
A_{\text{base}} = 6\cdot A_{\text{tri}} = 6\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4}\,x^2 = \tfrac{6\sqrt{3}}{4}\,x^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\,x^2.
Expliquei: multiplicamos por 6 porque o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros iguais.

Passo 5

Área lateral do prisma. Cada face lateral é um retângulo com uma aresta igual ao lado da base \,x e outra igual à altura do prisma \,y. Existem 6 faces laterais. Então a área lateral total é:
A_{\text{lateral}} = 6 \cdot (x\cdot y) = 6xy.
Raciocínio: somamos as áreas dos 6 retângulos.

Passo 6

Área total do prisma = soma das áreas das duas bases mais a área lateral:
A_{\text{total}} = 2\cdot A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}}.
Substituindo A_{\text{base}} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\,x^2 e A_{\text{lateral}} = 6xy:
A_{\text{total}} = 2\cdot \left(\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\,x^2\right) + 6xy = 3\sqrt{3}\,x^2 + 6xy.
Aqui cada termo tem interpretação: 3\sqrt{3}\,x^2 vem das duas bases e 6xy vem das seis faces laterais.

Passo 7

Volume do prisma: regra geral — volume de um prisma = área da base vezes a altura (aresta lateral). Assim:
V = A_{\text{base}}\cdot y = \left(\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\,x^2\right)\cdot y = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\,x^2 y.
Intuição rápida: empilhar o polígono base ao longo da altura \,y.

Resposta

Área total: 3\sqrt{3}\,x^2 + 6xy
Volume: \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\,x^2 y

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