Responda o que se pede:
Expresse a área total e o volume de um prisma hexagonal regular com aresta da base
e aresta lateral
.
Expresse a área total e o volume de um prisma hexagonal regular com aresta da base
Passo 1
O enunciado pede duas expressões em função das arestas: a área total e o volume de um prisma hexagonal regular cuja aresta da base é
e cuja aresta lateral (altura do prisma) é
. Informações dadas que vamos usar:
- A aresta da base (lado do hexágono regular) é
. - A aresta lateral (a altura do prisma) é
. - O prisma tem duas bases congruentes (os dois hexágonos) e seis faces laterais retangulares.
Passo 2
Entenda a base: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes, cada um com lado
. Então, se conseguimos a área de um desses triângulos, multiplicamos por 6 para obter a área da base do hexágono.
Passo 3
Área de um triângulo equilátero de lado
. Primeiro, calcule a altura do triângulo equilátero: ao traçar a altura, ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos com catetos
e a altura
, e hipotenusa
. Pelo teorema de Pitágoras:
Área do triângulo equilátero (base
, altura
):
Passo 4
Área da base (hexágono) = 6 vezes a área de um triângulo equilátero:
Expliquei: multiplicamos por 6 porque o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros iguais.
Passo 5
Área lateral do prisma. Cada face lateral é um retângulo com uma aresta igual ao lado da base
e outra igual à altura do prisma
. Existem 6 faces laterais. Então a área lateral total é:
Raciocínio: somamos as áreas dos 6 retângulos.
Passo 6
Área total do prisma = soma das áreas das duas bases mais a área lateral:
Substituindo
e
:
Aqui cada termo tem interpretação:
vem das duas bases e
vem das seis faces laterais.
Passo 7
Volume do prisma: regra geral — volume de um prisma = área da base vezes a altura (aresta lateral). Assim:
Intuição rápida: empilhar o polígono base ao longo da altura
.
Resposta
Área total:
Volume:
Volume: