Responda o que se pede:
Expresse o volume de uma pirâmide quadrangular regular como função de sua aresta da base x e aresta lateral y.

Passo 1

O enunciado pede que expressemos o volume de uma pirâmide quadrangular regular como função da aresta da base x e da aresta lateral y.
Informações dadas:
  • A aresta da base (lado do quadrado da base) é \,x.
  • A aresta lateral (aresta do vértice até um vértice da base) é \,y.
    Pergunta principal: escrever V (volume) em termos de x e y.
    Observação importante: a pirâmide é regular, então o vértice está sobre a perpendicular que passa pelo centro do quadrado da base.

Passo 2

Entender a expressão geral do volume de uma pirâmide: o volume de qualquer pirâmide é um terço da área da base multiplicada pela altura. Vou explicar essa fórmula rapidinho. Se \,B é a área da base e \,h é a altura (distância perpendicular do vértice ao plano da base), então
V=\frac{1}{3}B\,h.
Aqui, como a base é um quadrado de lado \,x, a área da base é simplesmente
B = x^{2}.
Significado das variáveis: \,x é o comprimento do lado do quadrado; \,B tem unidades de área; \,h será a altura que precisamos expressar em função de \,x e \,y.

Passo 3

Localizar a altura usando uma secção vertical que passe pelo vértice e por um vértice da base. Nessa secção aparece um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a aresta lateral \,y, uma cateto é a altura \,h e o outro cateto é a distância do centro do quadrado até um vértice da base (vou chamar essa distância de \,r). Precisamos calcular \,r em função de \,x.
No quadrado de lado \,x, a diagonal tem comprimento \,x\sqrt{2}. A distância do centro até um vértice é metade da diagonal, portanto
r=\frac{x\sqrt{2}}{2}.
Uma forma equivalente, muitas vezes mais simples de usar, é
r=\frac{x}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo com hipotenusa \,y e catetos \,h e \,r. O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Então
y^{2}=h^{2}+r^{2}.
Isolando \,h obtemos
h=\sqrt{y^{2}-r^{2}}.
Substituindo r=\dfrac{x}{\sqrt{2}} na expressão de h,
h=\sqrt{y^{2}-\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^{2}}=\sqrt{y^{2}-\frac{x^{2}}{2}}.
Aqui expliquei cada passo: primeiro usei Pitágoras para relacionar y,h,r; depois substituí a expressão de r em termos de x e simplifiquei dentro da raiz.

Passo 5

Agora substituímos a área da base B=x^{2} e a altura h=\sqrt{y^{2}-\dfrac{x^{2}}{2}} na fórmula do volume. Assim,
V=\frac{1}{3}x^{2}\sqrt{y^{2}-\frac{x^{2}}{2}}.
Essa é a expressão do volume em função de \,x e \,y.

Passo 6

Condições de existência e interpretação: para a expressão acima fazer sentido (altura real não imaginária) é necessário que o conteúdo da raiz seja não-negativo, ou seja
y^{2}-\frac{x^{2}}{2}\ge 0,
o que implica
y\ge \frac{x}{\sqrt{2}}.
Também assumimos x>0 e y>0. Em palavras: a aresta lateral precisa ser pelo menos a distância do centro ao vértice para existir a pirâmide regular com esses dados.

Passo 7

Resumo rápido de como usar na prova: 1) calcule r=\dfrac{x}{\sqrt{2}}; 2) aplique Pitágoras para achar h=\sqrt{y^{2}-r^{2}}; 3) use V=\dfrac{1}{3}x^{2}h. Se aparecer, não esqueça de checar a condição y\ge \dfrac{x}{\sqrt{2}}.

Resposta

V=\frac{1}{3}x^{2}\sqrt{y^{2}-\frac{x^{2}}{2}},\quad \text{com }y\ge \frac{x}{\sqrt{2}}.

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