Responda o que se pede:
Expresse o volume de uma pirâmide quadrangular regular como função de sua aresta da base
e aresta lateral
.
Expresse o volume de uma pirâmide quadrangular regular como função de sua aresta da base
Passo 1
O enunciado pede que expressemos o volume de uma pirâmide quadrangular regular como função da aresta da base
e da aresta lateral
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A aresta da base (lado do quadrado da base) é
. - A aresta lateral (aresta do vértice até um vértice da base) é
.
Pergunta principal: escrever(volume) em termos de e .
Observação importante: a pirâmide é regular, então o vértice está sobre a perpendicular que passa pelo centro do quadrado da base.
Passo 2
Entender a expressão geral do volume de uma pirâmide: o volume de qualquer pirâmide é um terço da área da base multiplicada pela altura. Vou explicar essa fórmula rapidinho. Se
é a área da base e
é a altura (distância perpendicular do vértice ao plano da base), então
Aqui, como a base é um quadrado de lado
, a área da base é simplesmente
Significado das variáveis:
é o comprimento do lado do quadrado;
tem unidades de área;
será a altura que precisamos expressar em função de
e
.
Passo 3
Localizar a altura usando uma secção vertical que passe pelo vértice e por um vértice da base. Nessa secção aparece um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a aresta lateral
, uma cateto é a altura
e o outro cateto é a distância do centro do quadrado até um vértice da base (vou chamar essa distância de
). Precisamos calcular
em função de
.
No quadrado de lado
, a diagonal tem comprimento
. A distância do centro até um vértice é metade da diagonal, portanto
Uma forma equivalente, muitas vezes mais simples de usar, é
Passo 4
Aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo com hipotenusa
e catetos
e
. O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Então
Isolando
obtemos
Substituindo
na expressão de
,
Aqui expliquei cada passo: primeiro usei Pitágoras para relacionar
; depois substituí a expressão de
em termos de
e simplifiquei dentro da raiz.
Passo 5
Agora substituímos a área da base
e a altura
na fórmula do volume. Assim,
Essa é a expressão do volume em função de
e
.
Passo 6
Condições de existência e interpretação: para a expressão acima fazer sentido (altura real não imaginária) é necessário que o conteúdo da raiz seja não-negativo, ou seja
o que implica
Também assumimos
e
. Em palavras: a aresta lateral precisa ser pelo menos a distância do centro ao vértice para existir a pirâmide regular com esses dados.
Passo 7
Resumo rápido de como usar na prova: 1) calcule
; 2) aplique Pitágoras para achar
; 3) use
. Se aparecer, não esqueça de checar a condição
.