Responda à pergunta: A é diagonalizável? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pergunta se ela é diagonalizável. O conteúdo principal é diagonalização de matrizes de ordem , que exige achar os autovalores (resolvendo o polinômio característico) e checar se existem dois autovetores linearmente independentes.
Passo 2
Vamos montar o polinômio característico de . Isso vem de
Expandindo, obtemos
Passo 3
Os autovalores são as raízes de
O discriminante é
Logo, as raízes são distintas se e somente se , isto é,
Passo 4
Para matrizes , ter dois autovalores distintos já garante dois autovetores independentes e, portanto, diagonalizabilidade. Assim, se , a matriz é diagonalizável.
Passo 5
Se , então e o polinômio dá autovalor único de multiplicidade algébrica . Nesse caso,
que tem posto 1 (as duas linhas são proporcionais), logo a multiplicidade geométrica do autovalor é 1 < 2. Isso impede a diagonalização.
Resposta
A é diagonalizável se, e somente se, m neq -tfrac14.