Responda à pergunta: A é diagonalizável? Justifique.
A=[ll 3 & 1 m & 2 ]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 3 & 1 m & 2
e pergunta se ela é diagonalizável. O conteúdo principal é diagonalização de matrizes de ordem 2, que exige achar os autovalores (resolvendo o polinômio característico) e checar se existem dois autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Vamos montar o polinômio característico de A. Isso vem de
det(A - lambda I) ;=;det!3-lambda & 1 m & 2-lambda ;=;(3-lambda)(2-lambda) - mcdot1
Expandindo, obtemos
det(A - lambda I) = lambda^2 -5lambda + (6 - m)

Passo 3

Os autovalores são as raízes de
lambda^2 -5lambda + (6 - m) = 0
O discriminante é
De<a = (-5)^2 - 4,(6 - m) = 25 -24 +4m = 1 + 4m
Logo, as raízes são distintas se e somente se De<a neq 0, isto é,
1 + 4m neq 0 Long<=ftrightarrow m neq -tfrac14

Passo 4

Para matrizes 2times2, ter dois autovalores distintos já garante dois autovetores independentes e, portanto, diagonalizabilidade. Assim, se m neq -tfrac14, a matriz A é diagonalizável.

Passo 5

Se m = -tfrac14, então De<a = 0 e o polinômio dá autovalor único lambda = 52 de multiplicidade algébrica 2. Nesse caso,
A - tfrac52 I = 3-tfrac52 & 1 -tfrac14 & 2-tfrac52 = tfrac12 & 1 -tfrac14 & -tfrac12,
que tem posto 1 (as duas linhas são proporcionais), logo a multiplicidade geométrica do autovalor é 1 < 2. Isso impede a diagonalização.

Resposta

A é diagonalizável se, e somente se, m neq -tfrac14.

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