Responda à s perguntas, justificando em cada caso.
E a soma de dois números irracionais é sempre irracional, ou será que pode ser racional?

Passo 1

O enunciado pergunta se a soma de dois números irracionais é sempre irracional ou se pode dar um racional. O conteúdo aqui é classificação de números (racionais vs irracionais) e soma de números reais. Vamos usar a definição de número irracional (não pode ser expresso como fração de inteiros) e propriedades básicas da soma.

Passo 2

Para mostrar que a soma de dois irracionais pode ser irracional, considere os números raiz2 e raiz3. Se raiz2+raiz3 fosse racional, então teríamos
raiz3 = (raiz2+raiz3)-raiz2
e o lado direito seria diferença de racional (hipoteticamente) e irracional, o que é irracional. Mas raiz3 é irracional, logo não há contradição direta. Para um argumento mais formal, suponha por absurdo que raiz2+raiz3 seja racional. Então
(raiz2+raiz3)-raiz2=raiz3
seria diferença entre dois racionais, logo racional, o que contradiz a irracionalidade de raiz3. Portanto raiz2+raiz3 é irracional.

Passo 3

Para mostrar que a soma de dois irracionais pode ser racional, basta dar um contraexemplo. Tome x=raiz2 e y=1-raiz2. Ambos são irracionais (porque se 1-raiz2 fosse racional, então raiz2=1-(1-raiz2) seria racional). Mas
x+y=raiz2+(1-raiz2)=1
que é racional.

Passo 4

Concluímos que não existe regra fixa de que a soma de irracionais seja sempre irracional. Depende dos números escolhidos: alguns pares somam irracional e outros somam racional.

Resposta

A soma de dois números irracionais nem sempre é irracional: pode ser irracional (por exemplo raiz2+raiz3) ou pode ser racional (por exemplo raiz2+(1-raiz2)=1).

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