Responda à s perguntas, justificando em cada caso.
E a soma de dois números irracionais é sempre irracional, ou será que pode ser racional?
E a soma de dois números irracionais é sempre irracional, ou será que pode ser racional?
Passo 1
O enunciado pergunta se a soma de dois números irracionais é sempre irracional ou se pode dar um racional. O conteúdo aqui é classificação de números (racionais vs irracionais) e soma de números reais. Vamos usar a definição de número irracional (não pode ser expresso como fração de inteiros) e propriedades básicas da soma.
Passo 2
Para mostrar que a soma de dois irracionais pode ser irracional, considere os números
e
. Se
fosse racional, então teríamos
e o lado direito seria diferença de racional (hipoteticamente) e irracional, o que é irracional. Mas
é irracional, logo não há contradição direta. Para um argumento mais formal, suponha por absurdo que
seja racional. Então
seria diferença entre dois racionais, logo racional, o que contradiz a irracionalidade de
. Portanto
é irracional.
Passo 3
Para mostrar que a soma de dois irracionais pode ser racional, basta dar um contraexemplo. Tome
e
. Ambos são irracionais (porque se
fosse racional, então
seria racional). Mas
que é racional.
Passo 4
Concluímos que não existe regra fixa de que a soma de irracionais seja sempre irracional. Depende dos números escolhidos: alguns pares somam irracional e outros somam racional.
Resposta
A soma de dois números irracionais nem sempre é irracional: pode ser irracional (por exemplo
) ou pode ser racional (por exemplo
).