Responda aos seguintes itens:
Tanto física como matematicamente, seria possível reter a mancha no interior do domínio ao mesmo tempo que o escoamento da água seguisse normalmente? Explique como isso seria possível na prática e como o modelo poderia ser estabelecido matematicamente;

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível, ao mesmo tempo, manter uma mancha de corante presa dentro de certa região do domínio enquanto a água continua a escoar normalmente por toda parte. O conteúdo envolve mecânica dos fluidos (escoamento incompressível) e transporte de soluto (advecção e difusão). Para resolver, vamos usar as equações de Navier–Stokes para o fluido e a equação de advecção–difusão para o corante, além de raciocinar sobre linhas de corrente e separatrizes.

Passo 2

Fisicamente, basta criar no canal alguma região de recirculação ou uma barreira semipermeável ao corante mas permeável à água. Por exemplo, colocamos um obstáculo fixo que gere um redemoinho (zona de estagnação perto do obstáculo) com linhas de corrente fechadas. Se injetarmos o corante ali, ele ficará circulando internamente e não segue pelo canal principal, enquanto a água continua a passar normalmente ao redor do obstáculo.

Passo 3

Matematicamente, representamos o fluido por um campo de velocidade \mathbf{u}(x,y)\) e pressão \(p(x,y)\) solução do sistema incompressível em regime estacionário, num domínio \(\Omega\) com obstáculo \(\mathcal{O}\): \[\begin{cases} \rho(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} - \mu\Delta\mathbf{u} + \nabla p = \mathbf{0},\\\ \nabla\cdot\mathbf{u} = 0,\\\ \mathbf{u}=0\text{ em }\partial(\Omega\setminus\mathcal{O}),\quad \mathbf{u}\to\mathbf{u}_\infty\text{ em entradas/saídas}. \end{cases}
O corante tem concentração c(x,y,t)\] que satisfaz \[\frac{\partial c}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla c = D\,\Delta c,\] com condições de contorno \(c=0 no escoamento de entrada, e \mathbf{n}\cdot\nabla c=0 nas paredes do obstáculo (sem fluxo de corante). Inicialmente colocamos c(x,y,0)=c_0(x,y) suportada dentro da região de recirculação (fechada por linhas de corrente).

Passo 4

Como D\approx0 (difusão muito pequena) ou até desprezível, o transporte é dominado pela advecção pura. Usando o método das características, cada partícula de corante segue uma linha de corrente de \mathbf{u}. Se as linhas de corrente são fechadas em torno do obstáculo, a partícula não sai dessa bolha recirculante. Logo, a mancha fica confinada matematicamente na região inicial, enquanto a água escoa normalmente fora dela.

Resposta

Sim. Basta projetar um obstáculo que crie linhas de corrente fechadas (zona de recirculação) ou usar uma barreira semipermeável ao corante. O escoamento da água continua normal resolvendo Navier–Stokes, e o corante, resolver a equação de advecção–difusão com difusão quase nula e condição de não-fluxo nas paredes, fica preso na região de linhas de corrente fechadas.

Exercícios relacionados