Responda aos seguintes itens:
Tanto física como matematicamente, seria possível reter a mancha no interior do domínio ao mesmo tempo que o escoamento da água seguisse normalmente? Explique como isso seria possível na prática e como o modelo poderia ser estabelecido matematicamente;
Tanto física como matematicamente, seria possível reter a mancha no interior do domínio ao mesmo tempo que o escoamento da água seguisse normalmente? Explique como isso seria possível na prática e como o modelo poderia ser estabelecido matematicamente;
Passo 1
O enunciado pergunta se é possível, ao mesmo tempo, manter uma mancha de corante presa dentro de certa região do domínio enquanto a água continua a escoar normalmente por toda parte. O conteúdo envolve mecânica dos fluidos (escoamento incompressível) e transporte de soluto (advecção e difusão). Para resolver, vamos usar as equações de Navier–Stokes para o fluido e a equação de advecção–difusão para o corante, além de raciocinar sobre linhas de corrente e separatrizes.
Passo 2
Fisicamente, basta criar no canal alguma região de recirculação ou uma barreira semipermeável ao corante mas permeável à água. Por exemplo, colocamos um obstáculo fixo que gere um redemoinho (zona de estagnação perto do obstáculo) com linhas de corrente fechadas. Se injetarmos o corante ali, ele ficará circulando internamente e não segue pelo canal principal, enquanto a água continua a passar normalmente ao redor do obstáculo.
Passo 3
Matematicamente, representamos o fluido por um campo de velocidade
O corante tem concentração
no escoamento de entrada, e
nas paredes do obstáculo (sem fluxo de corante). Inicialmente colocamos
suportada dentro da região de recirculação (fechada por linhas de corrente).
Passo 4
Como
(difusão muito pequena) ou até desprezível, o transporte é dominado pela advecção pura. Usando o método das características, cada partícula de corante segue uma linha de corrente de
. Se as linhas de corrente são fechadas em torno do obstáculo, a partícula não sai dessa bolha recirculante. Logo, a mancha fica confinada matematicamente na região inicial, enquanto a água escoa normalmente fora dela.
Resposta
Sim. Basta projetar um obstáculo que crie linhas de corrente fechadas (zona de recirculação) ou usar uma barreira semipermeável ao corante. O escoamento da água continua normal resolvendo Navier–Stokes, e o corante, resolver a equação de advecção–difusão com difusão quase nula e condição de não-fluxo nas paredes, fica preso na região de linhas de corrente fechadas.