2^{\text {a }} Questão - A distribuição de pressões num certo fluido é tal que o gradiente de pressões é dado por \nabla p=\alpha\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+L^{2}\right)(a \mathbf{i}+b \mathbf{j}+c \mathbf{k}). Obtenha o vetor aceleração da gravidade \mathbf{g} (que é constante) e a distribuição de densidades \rho (em função da posição espacial). São dadas as constantes positivas \alpha, L e g(g=\|\mathbf{g}\|).

Passo 1

O enunciado dá o gradiente de pressão
\nabla p = \alpha\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}+L^{2}\bigr)\,(a\,\mathbf{i}+b\,\mathbf{j}+c\,\mathbf{k})
e pede o vetor aceleração da gravidade \mathbf{g}, que deve ser constante, e a distribuição de densidade \rho(x,y,z). Como o fluido está em repouso, usaremos a equação da estática dos fluidos.

Passo 2

Em um fluido em repouso sob gravidade, vale a relação de equilíbrio hidrostático
\nabla p \;=\;\rho\,\mathbf{g}\,,
onde \mathbf{g} é o vetor aceleração da gravidade (constante) e \rho é a densidade que pode depender da posição.

Passo 3

Pela forma de \nabla p, vemos que ele é paralelo ao vetor constante \mathbf{a}=a\,\mathbf{i}+b\,\mathbf{j}+c\,\mathbf{k}. Logo \mathbf{g} também deve ser paralelo a \mathbf{a}. Definimos o módulo A = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}
e o vetor unitário
\hat{\mathbf{u}} = \frac{1}{A}\,(a\,\mathbf{i}+b\,\mathbf{j}+c\,\mathbf{k})\,.

Passo 4

Como \|\mathbf{g}\|=g, escrevemos
\mathbf{g} = g\,\hat{\mathbf{u}} = g\,\frac{a\,\mathbf{i}+b\,\mathbf{j}+c\,\mathbf{k}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,.

Passo 5

Projeta-se a equação \nabla p=\rho\,\mathbf{g} na direção de \hat{\mathbf{u}}. Como \nabla p também é paralelo a \hat{\mathbf{u}}, basta comparar módulos:
\|\nabla p\| =\alpha\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}+L^{2}\bigr)\,A \quad\text{e}\quad \|\rho\,\mathbf{g}\| =\rho\,g.
Igualando-os, obtemos
\rho(x,y,z) =\frac{\|\nabla p\|}{g} =\frac{\alpha\,A}{g}\,\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}+L^{2}\bigr).

Resposta

\displaystyle \mathbf{g} = g\,\frac{a\,\mathbf{i}+b\,\mathbf{j}+c\,\mathbf{k}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \displaystyle \rho(x,y,z)=\frac{\alpha\,\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{g}\,\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}+L^{2}\bigr).

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