Questão - A distribuição de pressões num certo fluido é tal que o gradiente de pressões é dado por
. Obtenha o vetor aceleração da gravidade
(que é constante) e a distribuição de densidades
(em função da posição espacial). São dadas as constantes positivas
e
.
Passo 1
O enunciado dá o gradiente de pressão
e pede o vetor aceleração da gravidade
, que deve ser constante, e a distribuição de densidade
. Como o fluido está em repouso, usaremos a equação da estática dos fluidos.
Passo 2
Em um fluido em repouso sob gravidade, vale a relação de equilíbrio hidrostático
onde
é o vetor aceleração da gravidade (constante) e
é a densidade que pode depender da posição.
Passo 3
Pela forma de
, vemos que ele é paralelo ao vetor constante
. Logo
também deve ser paralelo a
. Definimos o módulo
e o vetor unitário
e o vetor unitário
Passo 4
Como
, escrevemos
Passo 5
Projeta-se a equação
na direção de
. Como
também é paralelo a
, basta comparar módulos:
Igualando-os, obtemos