3^{\text {a }} Questão - O cubo -L<x<L,-L<y<L,-L<z<L está preenchido por um fluido com a seguinte distribuição de pressões
p=\rho g(L-z)
Calcule a força exercida pelo fluido (dentro do cubo) contido no semi-espaço z>0 sobre o subconjunto do cubo onde y>x. Não precisa resolver a integral… Use a parametrização x=u ; \quad y=u ; \quad z=v. São dados L, \rho e g.

Passo 1

Temos o cubo -L<x<L,\;-L<y<L,\;-L<z<L preenchido por um fluido com pressão
p=\rho g\bigl(L-z\bigr).
Queremos a força exercida pelo fluido contido em z>0 sobre a superfície interna dada pelo plano y=x. Para isso usamos a lei geral de força de superfície:
\mathbf F=\iint_{S}p\,\mathbf n\,dS,
onde S é o pedaço de plano dentro do cubo com z\ge0 e \mathbf n é a normal unitária apontando para fora da região y>x.

Passo 2

Parâmetrizamos a superfície S por
\mathbf r(u,v)=(u,\;u,\;v),
com u\in[-L,L] e v\in[0,L]. Então
\mathbf r_u=(1,1,0), \quad \mathbf r_v=(0,0,1),
e o vetor normal (não unitário) orientado para fora de \{y>x\} é
\mathbf r_u\times\mathbf r_v =(1,1,0)\times(0,0,1) =(1,-1,0).

Passo 3

Em cada ponto \mathbf r(u,v) temos z=v e
p(\mathbf r(u,v))=\rho g\bigl(L-v\bigr).
Logo o elemento de força é
d\mathbf F =p\,(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv =\rho g\,(L-v)\,(1,-1,0)\,du\,dv.
Integrando em u de -L a L e em v de 0 a L, obtemos
\mathbf F =\int_{u=-L}^{L}\!\int_{v=0}^{L} \rho g\,(L-v)\,(1,-1,0)\,dv\,du.

Resposta

\boxed{ \mathbf F =\int_{u=-L}^{L}\int_{v=0}^{L} \rho g\,\bigl(L-v\bigr)\,(1,-1,0)\,dv\,du }.

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