Responda as seguintes questões:
Discuta aspectos da conservação do momento conjugado para uma partícula livre usando o formalismo lagrangiano e também o formalismo Hamiltoniano.
Discuta aspectos da conservação do momento conjugado para uma partícula livre usando o formalismo lagrangiano e também o formalismo Hamiltoniano.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar por que o momento conjugado é conservado para uma partícula livre, primeiro no formalismo lagrangiano e depois no formalismo hamiltoniano. O conteúdo envolve usar a definição de momento conjugado, as equações de Euler–Lagrange, as equações de Hamilton e, conceitualmente, a relação com simetria de translação (Teorema de Noether).
Passo 2
No formalismo lagrangiano, a Lagrangiana de uma partícula livre unidimensional é
que não depende de
(apenas de
). Definimos o momento conjugado
As equações de Euler–Lagrange dizem
Como
, segue
ou seja,
é constante. Essa conservação reflete a invariância de
sob translações em
.
Passo 3
No formalismo hamiltoniano, passamos para a Hamiltoniana via transformação de Legendre:
As equações de Hamilton dão
Logo
e
permanece constante. Equivalentemente,
pelo bracket de Poisson.
Passo 4
Em ambos formalismos o momento conjugado coincide com o momentum linear
e é conservedo porque a Lagrangiana/Hamiltoniana de partícula livre não depende da coordenada
. Do ponto de vista de Noether, essa é a consequência da simetria de translação espacial.
Resposta
O momento conjugado
é constante tanto no formalismo lagrangiano (pois
) quanto no formalismo hamiltoniano (pois
ou
).