Responda as seguintes questões:
Discuta aspectos da conservação do momento conjugado para uma partícula livre usando o formalismo lagrangiano e também o formalismo Hamiltoniano.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar por que o momento conjugado é conservado para uma partícula livre, primeiro no formalismo lagrangiano e depois no formalismo hamiltoniano. O conteúdo envolve usar a definição de momento conjugado, as equações de Euler–Lagrange, as equações de Hamilton e, conceitualmente, a relação com simetria de translação (Teorema de Noether).

Passo 2

No formalismo lagrangiano, a Lagrangiana de uma partícula livre unidimensional é
L = \tfrac12\,m\,\dot x^2,
que não depende de x (apenas de \dot x). Definimos o momento conjugado
p \;=\;\frac{\partial L}{\partial \dot x}\;=\;m\,\dot x.
As equações de Euler–Lagrange dizem
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\Bigr)\;-\;\frac{\partial L}{\partial x}\;=\;0.
Como \partial L/\partial x=0, segue
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=0,
ou seja, p é constante. Essa conservação reflete a invariância de L sob translações em x.

Passo 3

No formalismo hamiltoniano, passamos para a Hamiltoniana via transformação de Legendre:
H = p\,\dot x - L = p\,\frac{p}{m} - \tfrac12 m\Bigl(\frac{p}{m}\Bigr)^2 = \frac{p^2}{2m}.
As equações de Hamilton dão
\dot x = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \qquad \dot p = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = 0.
Logo \dot p=0 e p permanece constante. Equivalentemente, \dot p=\{p,H\}=0 pelo bracket de Poisson.

Passo 4

Em ambos formalis­mos o momento conjugado coincide com o momentum linear m\dot x e é conservedo porque a Lagrangiana/Hamiltoniana de partícula livre não depende da coordenada x. Do ponto de vista de Noether, essa é a consequência da simetria de translação espacial.

Resposta

O momento conjugado p=m\dot x é constante tanto no formalismo lagrangiano (pois \partial L/\partial x=0) quanto no formalismo hamiltoniano (pois \partial H/\partial x=0 ou \{p,H\}=0).

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