Responda as seguintes questões:
Qual a importância do princípio de Hamilton para os formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano?
Qual a importância do princípio de Hamilton para os formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a importância do princípio de Hamilton para os formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano. O conteúdo aqui é mecânica analítica e vamos precisar usar a noção de ação, variação funcional e transformada de Legendre.
Passo 2
No formalismo Lagrangiano, definimos a ação
onde
é a lagrangiana. O princípio de Hamilton impõe
para variações
que deixam fixos
e
. Dessa condição segue diretamente a equação de Euler–Lagrange
que são justamente as equações de movimento no formalismo Lagrangiano.
Passo 3
Para chegar ao formalismo Hamiltoniano, usamos o princípio de Hamilton também para definir os momentos canônicos
e introduzimos a transformada de Legendre
Aplicando variação estacionária de
ou fazendo manipulações com differenciais, obtemos as equações canônicas de Hamilton:
Passo 4
O princípio de Hamilton unifica os dois formalismos porque
- Gera as equações de movimento via variação de
. - Permite passar de
para de forma sistemática. - Fornece uma base para o Teorema de Noether, relacionando simetrias de
ou a leis de conservação. - Revela a estrutura geométrica (variedade simplética) comum a ambos os formalismos.
Resposta
O princípio de Hamilton é o ponto de partida que, ao exigir
, gera as equações de Euler–Lagrange no formalismo Lagrangiano e, via definição de momentos canônicos e transformada de Legendre, produz as equações de Hamilton no formalismo Hamiltoniano. Além disso, ele fornece o arcabouço para ligações entre simetrias e leis de conservação (Teorema de Noether) e revela a estrutura geométrica subjacente a toda a mecânica clássica.