Responda as seguintes questões:
Qual a importância do princípio de Hamilton para os formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a importância do princípio de Hamilton para os formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano. O conteúdo aqui é mecânica analítica e vamos precisar usar a noção de ação, variação funcional e transformada de Legendre.

Passo 2

No formalismo Lagrangiano, definimos a ação
S[q]=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}(q,\dot q,t)\,dt
onde \mathcal{L} é a lagrangiana. O princípio de Hamilton impõe \delta S=0 para variações q(t) que deixam fixos q(t_1) e q(t_2). Dessa condição segue diretamente a equação de Euler–Lagrange
\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i}=0,
que são justamente as equações de movimento no formalismo Lagrangiano.

Passo 3

Para chegar ao formalismo Hamiltoniano, usamos o princípio de Hamilton também para definir os momentos canônicos
p_i \;=\;\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot q_i}
e introduzimos a transformada de Legendre
H(q,p,t)=p_i\dot q_i-\mathcal{L}(q,\dot q,t).
Aplicando variação estacionária de S ou fazendo manipulações com differenciais, obtemos as equações canônicas de Hamilton:
\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i=-\,\frac{\partial H}{\partial q_i}.

Passo 4

O princípio de Hamilton unifica os dois formalismos porque
  1. Gera as equações de movimento via variação de S.
  2. Permite passar de \mathcal{L} para H de forma sistemática.
  3. Fornece uma base para o Teorema de Noether, relacionando simetrias de \mathcal{L} ou H a leis de conservação.
  4. Revela a estrutura geométrica (variedade simplética) comum a ambos os formalismos.

Resposta

O princípio de Hamilton é o ponto de partida que, ao exigir \delta S=0, gera as equações de Euler–Lagrange no formalismo Lagrangiano e, via definição de momentos canônicos e transformada de Legendre, produz as equações de Hamilton no formalismo Hamiltoniano. Além disso, ele fornece o arcabouço para ligações entre simetrias e leis de conservação (Teorema de Noether) e revela a estrutura geométrica subjacente a toda a mecânica clássica.

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