Responda as seguintes questões:
Qual a importância do cálculo variacional para o desenvolvimento dos Formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano da mecânica clássica?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o papel do cálculo variacional na construção dos formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano da mecânica clássica. O conteúdo envolvido é o Princípio de Hamilton e a derivação das equações de movimento através de variações de uma funcional funcional (a ação). Para resolver, vamos precisar entender como se define a ação, como se faz sua variação e como isso leva às equações de Euler–Lagrange e, em seguida, às equações de Hamilton.

Passo 2

Definimos a ação como a funcional
S[q]=\int_{t_1}^{t_2}L\bigl(q_i,\dot q_i,t\bigr)\,\mathrm dt,
onde q_i(t) são as coordenadas generalizadas e L é o Lagrangeano. O Princípio de Hamilton exige que a trajetória real torne S estacionária, isto é,
\delta S=0.
Fazendo uma variação q_i(t)\to q_i(t)+\delta q_i(t) com \delta q_i(t_1)=\delta q_i(t_2)=0, obtemos o próximo passo.

Passo 3

Aplicando a variação em S e integrando por partes, chega-se às equações de Euler–Lagrange:
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \;-\;\frac{\partial L}{\partial q_i} \;=\;0.
Essas equações são equivalentes às leis de Newton em coordenadas generalizadas e fornecem o formalismo Lagrangiano de forma sistemática, mesmo na presença de restrições.

Passo 4

Para passar ao formalismo Hamiltoniano, fazemos a transformação de Legendre: definimos o momento conjugado
p_i \;=\;\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}
e o Hamiltoniano
H(q,p,t)\;=\;\sum_i p_i\,\dot q_i \;-\;L(q,\dot q,t),
onde se elimina \dot q_i em favor de p_i. Essa transformação é embasada na mesma lógica variacional, mas agora sobre a forma canônica da ação.

Passo 5

Reescrevendo a ação em função de (q_i,p_i),
S[q,p]=\int_{t_1}^{t_2}\Bigl(\sum_i p_i\,\dot q_i - H(q,p,t)\Bigr)\,\mathrm dt,
e impondo \delta S=0 com variações independentes \delta q_i e \delta p_i, derivamos as equações de Hamilton:
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot p_i = -\,\frac{\partial H}{\partial q_i}.
Isso fecha o formalismo canônico, mostrando que a dinâmica toda provém de um princípio variacional.

Resposta

O cálculo variacional é fundamental porque o Princípio de Hamilton (estação da ação) fornece um método unificado e elegante para derivar as equações de movimento (Euler–Lagrange) no formalismo Lagrangiano e, por Legendre, chegar ao formalismo Hamiltoniano com suas equações canônicas. Além disso, essa abordagem evidencia a ligação entre simetrias e leis de conservação (teorema de Noether) e permite tratar restrições e coordenadas generalizadas de forma sistemática.

Exercícios relacionados