Seja
uma transformação linear tal que
e
.
Mostre que
é injetiva.
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
com
,
e
.
Queremos mostrar que é injetiva, isto é,
.
com
Queremos mostrar que
Passo 2
Primeiro notamos que
,
e
formam uma base de . De fato, o determinante da matriz cujas linhas são esses vetores é
formam uma base de
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes e geram
R^3 .
Passo 3
Mostramos agora que
Da quarta equação vem e
. Logo
são independentes.
Passo 4
Como
v1,v2,v3 é base de
R^3 , todo vetor
xinR^3 se escreve unicamente como
Se
x pertence a
ker T , então
e da independência dos
T(vi) segue
a=b=c=0 , ou seja
x=0 . Assim
ker T=0 .
Resposta
A transformação
T é injetiva.