Seja T: R^3 R^4 uma transformação linear tal que T(1,1,0) = (0,3,2,1), T(1,0,1) = (0,1,0,0) e T(1,2,1) = (0,0,1,0).
Mostre que T é injetiva.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
Tcolon R^3toR^4
com
T(1,1,0)=(0,3,2,1),
T(1,0,1)=(0,1,0,0) e
T(1,2,1)=(0,0,1,0).
Queremos mostrar que T é injetiva, isto é, ker T=0.

Passo 2

Primeiro notamos que
;v1=(1,1,0),
;v2=(1,0,1) e
;v3=(1,2,1)
formam uma base de R^3. De fato, o determinante da matriz cujas linhas são esses vetores é
det 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 2 & 1 =1cdot(0cdot1-1cdot2)-1cdot(1cdot1-1cdot1)+0cdotl(dotsr) =-2neq0
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes e geram R^3.

Passo 3

Mostramos agora que
Da quarta equação vem e . Logo são independentes.

Passo 4

Como v1,v2,v3 é base de R^3, todo vetor xinR^3 se escreve unicamente como
x = a,v1 + b,v2 + c,v3
Se x pertence a ker T, então
0 = T(x) = a,T(v1) + b,T(v2) + c,T(v3),
e da independência dos T(vi) segue a=b=c=0, ou seja x=0. Assim ker T=0.

Resposta

A transformação T é injetiva.

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