Responda se verdadeiro ou falso, justificando suas respostas ou dando um contra-exemplo, as afirmações:
Uma base para 𝑀2𝑥2 é sempre formada por matrizes invertíveis.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa dizer se é verdadeiro ou falso afirmar que uma base para o conjunto de todas as matrizes 2x2, que chamamos de M2x2 , é sempre formada por matrizes invertíveis. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como base, espaço vetorial e matrizes invertíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (ou matrizes, nesse caso) que são linearmente independentes e que conseguem ‘gerar’ todo o espaço. Para M2x2 , que tem dimensão 4 (porque uma matriz 2x2 tem 4 elementos), precisamos de 4 matrizes que sejam lineares e independentes.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas matrizes invertíveis. Uma matriz invertível é aquela que tem determinante diferente de zero. Elas são legais porque têm uma espécie de “inverso” que desfaz a transformação que elas fazem. Mas será que todas as matrizes de uma base podem ser invertíveis?

Passo 4

Vamos considerar que para formar uma base, as matrizes precisam ser linearmente independentes. Isso significa que nenhuma matriz da base pode ser escrita como combinação linear das outras. Porém, o conjunto de matrizes invertíveis não forma um espaço vetorial, porque se você somar duas matrizes invertíveis, o resultado nem sempre será invertível.

Passo 5

Para ter certeza, podemos tentar pensar em um exemplo. Suponha que temos duas matrizes invertíveis A e B . A soma A + B pode não ser invertível se, por exemplo, o determinante de A + B for zero. Isso mostra que nem toda combinação linear de matrizes invertíveis é invertível, o que impede que todas as bases sejam formadas apenas por matrizes invertíveis.

Resposta

Falso. Não é possível formar uma base para M2x2 somente com matrizes invertíveis, já que a soma de matrizes invertíveis pode não ser invertível, impedindo que todas as combinações lineares necessárias para uma base sejam possíveis.

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