Responda se verdadeiro ou falso, justificando suas respostas ou dando um contra-exemplo, as afirmações:
Se 𝑈 e a reta 𝑦=𝑥 e 𝑊 é a reta 𝑦=−𝑥 . Então 𝑈∪𝑊 é um subespaço do ℝ2 .
Se 𝑈 e a reta 𝑦=𝑥 e 𝑊 é a reta 𝑦=−𝑥 . Então 𝑈∪𝑊 é um subespaço do ℝ2 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta se a união das retas
definida por
e
definida por
forma um subespaço de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se a união dessas duas retas satisfaz as propriedades necessárias para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Em
, um subespaço é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades principais:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a união
:
-
Contém o vetor zero: Ambas as retas
e passam pela origem, ou seja, está em ambas. Então, essa propriedade é satisfeita. -
Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores de
. Existem dois casos: - Ambos os vetores estão em
: Se somarmos dois vetores de , o resultado também estará em . - Ambos os vetores estão em
: Se somarmos dois vetores de , o resultado também estará em . - Um vetor está em
e o outro em : Vamos ver um exemplo. Seja de e de . A soma deles é . Este vetor não está nem em nem em , porque para , , e para , . Aqui, e , então não satisfaz nenhuma das equações. Portanto, a união não está fechada sob adição.
- Ambos os vetores estão em
-
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor de
por um número real, o resultado ainda estará em . O mesmo vale para . Então, essa propriedade é satisfeita.
Passo 4
Embora a união
satisfaça as propriedades de conter o vetor zero e ser fechada sob multiplicação por escalar, falhamos na propriedade de fechamento sob adição, como vimos no passo anterior. Isso significa que existem vetores na união cuja soma não está na união, violando uma das condições necessárias para ser um subespaço vetorial.
Resposta
Falso. A união das retas
e
não é um subespaço de
porque não é fechada sob adição de vetores.