Responda se verdadeiro ou falso, justificando suas respostas ou dando um contra-exemplo, as afirmações:
O vetor nulo sempre faz parte de qualquer base de um subespaço
O vetor nulo sempre faz parte de qualquer base de um subespaço
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se é verdadeiro ou falso que o vetor nulo sempre faz parte de qualquer base de um subespaço. Vamos trabalhar com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores, bases e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e o que significa a independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Isso significa que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
Agora, o vetor nulo é o vetor onde todas as suas componentes são zero, ou seja,
. Vamos ver se esse vetor pode estar em uma base. Para que os vetores sejam linearmente independentes, nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 4
Se incluirmos o vetor nulo
na base, ele pode ser escrito como
, onde
são os outros vetores da base. Isso mostra que o vetor nulo depende linearmente dos demais, o que quebra a independência linear necessária para uma base.
Passo 5
Além disso, qualquer conjunto que inclua o vetor nulo não pode ser uma base, exceto no caso trivial do subespaço {
}, onde a base contém apenas o vetor nulo. Mas, em geral, para subespaços com dimensão maior que zero, o vetor nulo não pode estar na base.
Resposta
Falso. O vetor nulo não faz parte de nenhuma base de um subespaço, exceto no caso trivial do subespaço que contém apenas o vetor nulo, porque sua presença viola a independência linear exigida para uma base.