Responda Verdadeiro ou Falso para as seguintes afirmações, justificando:
A função f:[-1,1] [-1,1], definida por f(x)=sen x, é sobrejetora

Passo 1

O enunciado traz a função fcolon[-1,1]to[-1,1] definida por f(x)=sin x e pede para dizer se ela é sobrejetora, ou seja, se para todo yin[-1,1] existe algum xin[-1,1] tal que f(x)=y. Vamos usar a definição de sobrejeção e determinar a imagem de f.

Passo 2

Por definição, f é sobrejetora se e só se
f([-1,1])=,f(x)mid xin[-1,1]
é igual ao contradomínio [-1,1]. Então precisamos achar efetivamente f([-1,1]).

Passo 3

A função xmapstosin x é estritamente crescente em [-1,1] porque sua derivada cos x satisfaz cos x>=cos(1)>0 nesse intervalo. Logo
f([-1,1])=[sin(-1),,sin(1)]=[-sin(1),,sin(1)]

Passo 4

Como sin(1)<1, o intervalo [-sin(1),sin(1)] é estritamente contido em [-1,1]. Em particular, por exemplo y=1 não pertence à imagem de f, pois não existe xin[-1,1] com sin x=1. Logo f([-1,1])neq[-1,1], e f não é sobrejetora.

Resposta

Falso.

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