Responda verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique a sua resposta:
Se um subconjunto é L. I., então ele é uma base.
Se um subconjunto é L. I., então ele é uma base.
Passo 1
O enunciado pergunta se “todo subconjunto linearmente independente (L. I.) de um espaço vetorial é necessariamente uma base desse espaço”. O conteúdo envolve as definições de independência linear e de base de um espaço vetorial, e precisamos usar o fato de que uma base é um conjunto que é ao mesmo tempo L. I. e gera o espaço.
Passo 2
Definimos: um conjunto
num espaço vetorial
é linearmente independente se nenhuma combinação linear não trivial de seus vetores for o vetor nulo. Já dizemos que
é base de
se, além de ser L. I., ela gera
, ou seja, todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear de elementos de
.
Passo 3
Para que um conjunto seja base, não basta ser apenas L. I.: é preciso também que ele seja gerador. Um conjunto L. I. mas que não gera todo o espaço não satisfaz a definição de base. Logo, “ser L. I.” não implica “ser base”.
Passo 4
Exemplo concreto em
: o conjunto
é L. I., pois não há combinação não trivial que dê o vetor zero. No entanto, não é base de
porque não gera vetores como
. Portanto, é L. I. mas não forma uma base.
Resposta
F (falso)