Responda verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique a sua resposta:
Se um subconjunto é L. I., então ele é uma base.

Passo 1

O enunciado pergunta se “todo subconjunto linearmente independente (L. I.) de um espaço vetorial é necessariamente uma base desse espaço”. O conteúdo envolve as definições de independência linear e de base de um espaço vetorial, e precisamos usar o fato de que uma base é um conjunto que é ao mesmo tempo L. I. e gera o espaço.

Passo 2

Definimos: um conjunto S num espaço vetorial V é linearmente independente se nenhuma combinação linear não trivial de seus vetores for o vetor nulo. Já dizemos que S é base de V se, além de ser L. I., ela gera V, ou seja, todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear de elementos de S.

Passo 3

Para que um conjunto seja base, não basta ser apenas L. I.: é preciso também que ele seja gerador. Um conjunto L. I. mas que não gera todo o espaço não satisfaz a definição de base. Logo, “ser L. I.” não implica “ser base”.

Passo 4

Exemplo concreto em R^2: o conjunto (1,0) é L. I., pois não há combinação não trivial que dê o vetor zero. No entanto, não é base de R^2 porque não gera vetores como (0,1). Portanto, é L. I. mas não forma uma base.

Resposta

F (falso)

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