Responder a cada item, justificando sua resposta:
05) Mostrar que a equação x^{3}+x-1=0 tem raiz.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação x^{3}+x-1=0 tem raiz.
Informações que o problema nos dá e que podemos usar diretamente:
  • A equação pode ser escrita em termos da função f(x)=x^{3}+x-1.
  • Não há mais dados numéricos além dessa expressão polinomial.
  • O domínio natural para f é todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}.

Passo 2

Definir a função e recordar uma propriedade essencial (sem resolver ainda).
Definimos
f(x)=x^{3}+x-1.
Explicando devagar: f(x) é um polinômio de grau 3. Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Aqui “contínua” quer dizer, na prática, que se x varia um pouco, f(x) também varia um pouco — não há “saltos” na função. Essa propriedade é crucial para aplicar um resultado simples e poderoso (explicado no próximo passo).

Passo 3

Enunciar e explicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) — ferramenta que vamos usar.
Teorema do Valor Intermediário (forma usada aqui): se g é contínua em um intervalo fechado [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um número c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
Intuição simples: uma função contínua que “está abaixo do eixo” num ponto e “acima do eixo” em outro precisa cruzar o eixo em algum lugar entre eles. É exatamente isso que vai garantir a existência de uma raiz.

Passo 4

Avaliar f em dois pontos simples para tentar obter sinais opostos.
Calculemos:
f(0)=0^{3}+0-1=-1,
f(1)=1^{3}+1-1=1.
Observações:
  • f(0)=-1<0.
  • f(1)=1>0.
Como f é contínua em [0,1] (polinômio) e f(0) e f(1) têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um c em (0,1) tal que
f\text{(c)}=0,
ou seja, existe uma raiz da equação x^{3}+x-1=0 no intervalo (0,1).

Passo 5

Comentário útil sobre unicidade (opcional, mas prático para provas): mostrar que a raiz é única.
Calcule a derivada de f:
f'(x)=3x^{2}+1.
Note que 3x^{2}\ge 0 para todo x, então f'(x)=3x^{2}+1\ge 1>0 para todo x\in\mathbb{R}. Isso significa que f é estritamente crescente em todo \mathbb{R}. Uma função estritamente crescente pode cruzar o eixo no máximo uma vez, portanto a raiz encontrada em (0,1) é a única raiz real da equação.

Passo 6

(Prática — aproximação da raiz pelo método da bisseção, caso queira um valor numérico rápido.)
Já sabemos que a raiz c está em (0,1). Avaliando alguns pontos intermediários:
f(0,5)=0{,}125+0{,}5-1=-0{,}375<0,
f(0,8)=0{,}512+0{,}8-1=0{,}312>0.
Logo c\in(0{,}5,0{,}8). Seguindo mais duas iterações de bisseção:
f(0{,}65)=-0{,}075375<0,\qquad f(0{,}7)=0{,}043>0,
então c\in(0{,}65,0{,}7). Mais uma iteração dá c\approx0{,}682 (entre 0{,}68125 e 0{,}6875). Isso é só para ter uma ideia numérica; a existência já está provada pelos passos anteriores.

Resposta

A equação x^{3}+x-1=0 possui pelo menos uma raiz real c em (0,1).
Além disso, essa raiz é única; numericamente c\approx0{,}682.

Exercícios relacionados