Responder a cada item, justificando sua resposta:
05) Mostrar que a equação
tem raiz.
05) Mostrar que a equação
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem raiz.
Informações que o problema nos dá e que podemos usar diretamente:
Informações que o problema nos dá e que podemos usar diretamente:
- A equação pode ser escrita em termos da função
. - Não há mais dados numéricos além dessa expressão polinomial.
- O domínio natural para
é todo o conjunto dos números reais .
Passo 2
Definir a função e recordar uma propriedade essencial (sem resolver ainda).
Definimos
Definimos
Explicando devagar:
é um polinômio de grau
. Polinômios são funções contínuas em todo
. Aqui “contínua” quer dizer, na prática, que se
varia um pouco,
também varia um pouco — não há “saltos” na função. Essa propriedade é crucial para aplicar um resultado simples e poderoso (explicado no próximo passo).
Passo 3
Enunciar e explicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) — ferramenta que vamos usar.
Teorema do Valor Intermediário (forma usada aqui): se é contínua em um intervalo fechado
e
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos um número
tal que
.
Teorema do Valor Intermediário (forma usada aqui): se
Intuição simples: uma função contínua que “está abaixo do eixo” num ponto e “acima do eixo” em outro precisa cruzar o eixo em algum lugar entre eles. É exatamente isso que vai garantir a existência de uma raiz.
Passo 4
Avaliar
em dois pontos simples para tentar obter sinais opostos.
Calculemos:
Calculemos:
Observações:
-
. -
.
Como
é contínua em
(polinômio) e
e
têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um
em
tal que
ou seja, existe uma raiz da equação
no intervalo
.
Passo 5
Comentário útil sobre unicidade (opcional, mas prático para provas): mostrar que a raiz é única.
Calcule a derivada de :
Calcule a derivada de
Note que
para todo
, então
para todo
. Isso significa que
é estritamente crescente em todo
. Uma função estritamente crescente pode cruzar o eixo no máximo uma vez, portanto a raiz encontrada em
é a única raiz real da equação.
Passo 6
(Prática — aproximação da raiz pelo método da bisseção, caso queira um valor numérico rápido.)
Já sabemos que a raiz está em
. Avaliando alguns pontos intermediários:
Já sabemos que a raiz
Logo
. Seguindo mais duas iterações de bisseção:
então
. Mais uma iteração dá
(entre
e
). Isso é só para ter uma ideia numérica; a existência já está provada pelos passos anteriores.
Resposta
A equação
possui pelo menos uma raiz real
em
.
Além disso, essa raiz é única; numericamente .
Além disso, essa raiz é única; numericamente