Para responder as questões 23 e 24, considere a técnica da transformação log: Se lim x a ln (f(x))=L, então
lim x a f(x)=lim x a exp (ln (f(x)))=exp (lim x a ln (f(x)))=e^L,
sendo que os limites valem inclusive para a=infty e L=infty, nesse caso entendemos e^infty como sendo infty.
Uma outra forma de entender essa propriedade é da seguinte forma: se y= f(x), temos ln (y)=ln (f(x)). Se calcularmos lim x a ln (f(x))=L, então lim x a f(x)=e^L.
Aqui você deve notar que a função exponencial e^x tem como inversa a função ln (x) (e vice-versa), portanto e^ln (a)=a qualquer seja a>0 e ln (e^b)=b para todo b in R.
lim x infty x^ln 31+ln (x).

Passo 1

O enunciado pede calcular \r
limxtoinfty x^ln 31+ln(x). \r
O conteúdo aqui é limite de função potência com expoente dependente de x. Vamos usar a transformação log, isto é, primeiro achar \r
limxtoinftylnl(f(x)r) \r
e depois aplicar a exponencial para voltar a f(x).

Passo 2

Seja \r
f(x)=x^ln 31+ln(x). \r
Calculamos \r
lnl(f(x)r) =ln!l(x^ln 31+ln(x)r) =ln 31+ln(x)cdotln(x) =ln 3;ln(x)1+ln(x)

Passo 3

Como limxtoinftyln(x)=infty, temos \r
limxtoinftyln(x)1+ln(x) =1 \r
Logo \r
limxtoinftylnl(f(x)r) =ln 3cdot1 =ln 3

Passo 4

Voltando pela exponencial, \r
limxtoinftyf(x) =exp!l(limxtoinftyln(f(x))r) =e^ln 3 =3

Resposta

3

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