Qual é o resto da divisão de k x^2+x-1 por x+2 k?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual é o resto da divisão do polinômio $ kx^{2} + x - 1 $ por $ x + 2k $. Isso está relacionado ao estudo de divisão de polinômios e vamos usar o Teorema do Resto para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema do Resto. Ele diz que, quando dividimos um polinômio $ P(x) $ por um divisor do tipo $ x - a $, o resto da divisão é simplesmente $ P(a) $. Isso facilita bastante, porque ao invés de fazer a divisão completa, a gente só precisa substituir o valor de $ x $ para achar o resto.

Passo 3

No nosso caso, o divisor é $ x + 2k $. Para usar o Teorema do Resto, precisamos ajustá-lo para o formato $ x - a $. Então, $ x + 2k $ vira $ x - (-2k) $. Isso significa que $ a = -2k $.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema do Resto substituindo $ x $ por $ -2k $ no polinômio $ kx^{2} + x - 1 $:
x

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calculando $ (-2k)^{2} $:
(-2k)^2
  1. Multiplicando por $ k $:
(-2k)^2 = 4k^2
  1. Somando os termos restantes:
k

Passo 6

Portanto, o resto dessa divisão é $ 4k^{3} - 2k - 1 $.

Resposta

O resto da divisão de $ kx^{2} + x - 1 $ por $ x + 2k $ é $ 4k^{3} - 2k - 1 $.

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