Os restos da supernova E0102-72 estão localizados a cerca de 200.000 anos-luz da Terra. O material ali contido encontra-se a temperaturas extremamente elevadas, na casa dos milhões de graus. Nessas condições extremas, átomos altamente ionizados são encontrados, como \mathrm{O}^{7+}. Através de observações astronômicas da luz da supernova, foram observadas linhas de emissão atribuídas a transições desse íon. Ao que tudo indica, são as transições eletrônicas 1 \rightarrow 2,1 \rightarrow 3 e 1 \rightarrow 4. Usando a expressão abaixo, encontre a frequência (em Hz) da luz que causa essas transições. ( \mathrm{R}_{\mathrm{H}}=2,18 \times 10^{-18} \mathrm{~J} ; \mathrm{h}=6,62 \times 10^{-34} \mathrm{~J} . \mathrm{s} ; \mathrm{c}=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} . \mathrm{s}^{-1} )
\mathrm{v}_{\mathrm{n} 1 \rightarrow \mathrm{ni}}=\mathrm{Z}^{2} \mathrm{R}_{\mathrm{H}} / \mathrm{h}\left(1 / \mathrm{n}_{1}^{2}-1 / \mathrm{n}_{\mathrm{i}}^{2}\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
  • São observadas transições eletrônicas do íon \mathrm{O}^{7+} correspondendo a 1\rightarrow2, 1\rightarrow3 e 1\rightarrow4.
  • Fórmula fornecida:
\nu_{n_1\rightarrow n_i}= \dfrac{Z^{2}R_{\mathrm{H}}}{h}\left(\dfrac{1}{n_{1}^{2}}-\dfrac{1}{n_{i}^{2}}\right)
  • Constantes fornecidas:
R_{\mathrm{H}}=2,18\times10^{-18}\\ \mathrm{J},\qquad h=6,62\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\qquad c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}
  • Informação adicional necessária (inferida do enunciado): o número atômico do oxigénio é Z=8, logo para o íon \mathrm{O}^{7+} (hidrogênio-like com um elétron) usa-se Z=8.
    O que o problema pede: calcular a frequência \nu (em Hz) das linhas correspondentes às transições 1\rightarrow2, 1\rightarrow3 e 1\rightarrow4.

Passo 2

Breve explicação física e matemática da fórmula (para você entender o porquê e poder reproduzir na prova).
  • Para átomos hidrogênio-like (um único elétron ao redor do núcleo com carga +Ze), os níveis de energia são dados, em módulo de energia, por uma constante proporcional a Z^{2} e inversamente proporcional a n^{2}. A diferença de energia entre dois níveis n_1 e n_i é a energia do fóton emitido/absorvido: \Delta E = E_{n_i}-E_{n_1} = -Z^{2}R_{\mathrm{H}}\left(\dfrac{1}{n_i^{2}}-\dfrac{1}{n_1^{2}}\right).
  • Como a frequência \nu do fóton está ligada à energia por \Delta E = h\nu, isolando \nu chega-se à fórmula dada:
\nu_{n_1\rightarrow n_i}= \dfrac{Z^{2}R_{\mathrm{H}}}{h}\left(\dfrac{1}{n_{1}^{2}}-\dfrac{1}{n_{i}^{2}}\right).
  • Aqui cada símbolo significa:
    • Z: número atômico (para oxigénio Z=8);
    • R_{\mathrm{H}}: constante de Rydberg em energia (dada);
    • h: constante de Planck (dada);
    • n_1: nível inicial (aqui n_1=1);
    • n_i: nível final ( 2,3,4 nos casos pedidos);
    • \nu: frequência do fóton em Hz.

Passo 3

Vou calcular primeiro o fator prefatorial \dfrac{Z^{2}R_{\mathrm{H}}}{h}, mostrando contas passo a passo.
  • Calcular Z^{2}:
Z^{2}=8^{2}=64.
  • Multiplicar por R_{\mathrm{H}}:
64\times R_{\mathrm{H}}=64\times\left(2,18\times10^{-18}\right)=1,3952\times10^{-16}\\ \mathrm{J}.
  • Dividir por h:
\dfrac{1,3952\times10^{-16}}{6,62\times10^{-34}}=\left(\dfrac{1,3952}{6,62}\right)\times10^{18}.
Calcule \dfrac{1,3952}{6,62}\approx0,21072. Portanto
\dfrac{Z^{2}R_{\mathrm{H}}}{h}\approx 0,21072\times10^{18}=2,1072\times10^{17}\\ \mathrm{Hz}.
Vou usar este valor como fator comum nas três transições.

Passo 4

Cálculo para a transição 1\rightarrow2.
  • Primeiro o parêntese da fórmula:
\dfrac{1}{1^{2}}-\dfrac{1}{2^{2}}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}=0,75.
  • Multiplicando pelo fator:
\nu_{1\rightarrow2}=(2,1072\times10^{17})\times0,75=1,5804\times10^{17}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Cálculo para a transição 1\rightarrow3.
  • Parêntese:
\dfrac{1}{1^{2}}-\dfrac{1}{3^{2}}=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}\approx0,888888\ldots
  • Multiplicando:
\nu_{1\rightarrow3}=(2,1072\times10^{17})\times\dfrac{8}{9}=1,8731\times10^{17}\\ \mathrm{Hz}.
(Aproximo para quatro casas significativas: 1,8731\times10^{17}\\ \mathrm{Hz}.)

Passo 6

Cálculo para a transição 1\rightarrow4.
  • Parêntese:
\dfrac{1}{1^{2}}-\dfrac{1}{4^{2}}=1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}=0,9375.
  • Multiplicando:
\nu_{1\rightarrow4}=(2,1072\times10^{17})\times0,9375=1,9751\times10^{17}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Pequena checagem de unidades e interpretação rápida (motivação para a prova): a unidade ficou em \mathrm{Hz} porque dividimos energia (J) por h (J·s), resultando em 1/\mathrm{s}. Os valores são muito altos (ordem 10^{17}\\ \mathrm{Hz}), compatíveis com fótons na faixa de raios X/extremo ultravioleta — faz sentido para transições do tipo Lyman (iniciando em n=1) em íons fortemente carregados.

Resposta

\nu_{1\rightarrow2}=1,5804\times10^{17}\\ \mathrm{Hz}
\nu_{1\rightarrow3}=1,8731\times10^{17}\\ \mathrm{Hz}
\nu_{1\rightarrow4}=1,9751\times10^{17}\\ \mathrm{Hz}

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