O que resulta de
, o produto escalar de um vetor consigo mesmo? E no caso de
, o produto vetorial de um vetor consigo mesmo?
Passo 1
Beleza, bora resolver essa questão! O enunciado está perguntando o que acontece quando a gente faz o produto escalar de um vetor consigo mesmo, representado por
, e o produto vetorial
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre esses dois tipos de produtos vetoriais: o escalar e o vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o produto escalar. Esse produto entre dois vetores resulta em um número (escalar) e é calculado multiplicando as magnitudes dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é:
Quando a gente faz o produto escalar de um vetor consigo mesmo, ou seja,
, o ângulo entre eles é zero, porque é o mesmo vetor. Sabemos que
, então a fórmula fica:
Portanto, o produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude.
Passo 3
Agora, vamos para o produto vetorial. Esse produto entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e sua magnitude é dada por:
Onde
é o ângulo entre os vetores. No caso de
, o ângulo entre o vetor e ele mesmo é zero, então
. Isso significa que a magnitude do produto vetorial será zero. Além disso, como o vetor resultante deve ser perpendicular a
, que é o mesmo vetor nos dois lados, a única possibilidade é o vetor nulo, que chamamos de
.
Resposta
Então, temos que:
e