O que resulta de A cdot A, o produto escalar de um vetor consigo mesmo? E no caso de A times A, o produto vetorial de um vetor consigo mesmo?

Passo 1

Beleza, bora resolver essa questão! O enunciado está perguntando o que acontece quando a gente faz o produto escalar de um vetor consigo mesmo, representado por A cdot A, e o produto vetorial A times A. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre esses dois tipos de produtos vetoriais: o escalar e o vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o produto escalar. Esse produto entre dois vetores resulta em um número (escalar) e é calculado multiplicando as magnitudes dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é:
A cdot B = |A| cdot |B| cdot cos(theta)
Quando a gente faz o produto escalar de um vetor consigo mesmo, ou seja, A cdot A, o ângulo entre eles é zero, porque é o mesmo vetor. Sabemos que cos(0) = 1, então a fórmula fica:
A cdot A = |A| cdot |A| cdot 1 = |A|^2
Portanto, o produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude.

Passo 3

Agora, vamos para o produto vetorial. Esse produto entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais, e sua magnitude é dada por:
|A times B| = |A| cdot |B| cdot sin(theta)
Onde theta é o ângulo entre os vetores. No caso de A times A, o ângulo entre o vetor e ele mesmo é zero, então sin(0) = 0. Isso significa que a magnitude do produto vetorial será zero. Além disso, como o vetor resultante deve ser perpendicular a A, que é o mesmo vetor nos dois lados, a única possibilidade é o vetor nulo, que chamamos de 0.

Resposta

Então, temos que:
A cdot A = |A|^2
e
A times A = 0

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