O resultado de uma análise de peneiramento de quartzo é mostrado na tabela a seguir:
Peneira Massa (\mathrm{g})
-10+14 2,0
-14+20 5,0
-20+28 10,0
-28+35 18,0
-35+48 25,0
-48+65 25,0
-65 15,0
a) Conhecendo \rho quartzo =2650 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e fatores de forma \mathrm{b}=2 e \varphi=0,571 calcule o número de partículas e a área superficial da fração entre 14 e 20 mesh.
b) Calcule o número de partículas da amostra.

Passo 1

O enunciado fornece uma análise de peneiramento de quartzo com as frações e massas retidas, a densidade do quartzo \rho=2650\:\mathrm{kg/m^3} e os fatores de forma b=2 e de esfericidade \varphi=0,571. Pede-se:
a) para a fração -14+20 mesh 5{,}0\:\mathrm g:
  1. o número de partículas,
  2. a área superficial total.
b) o número total de partículas na amostra inteira (somando todas as frações).
Para isso vamos:
  1. converter os números de mesh em aberturas (em metros),
  2. obter o diâmetro médio geométrico de cada fração,
  3. usar fórmula de volume de partícula V_p = b\,d^3 e massa m=N\,\rho\,V_p para N,
  4. obter a área de cada partícula como A_p=\pi d^2/\varphi e multiplicar por N.

Passo 2

Converter mesh em abertura D (em metros):
D_{\text{mesh}} = \frac{25{,}4\times10^{-3}\,\mathrm m}{\text{mesh}}
Para a fração -14+20 mesh:
D_{14}=\frac{25{,}4\times10^{-3}}{14}=1{,}814\times10^{-3}\,\mathrm m,\quad D_{20}=\frac{25{,}4\times10^{-3}}{20}=1{,}270\times10^{-3}\,\mathrm m.
O diâmetro médio geométrico é
d = \sqrt{D_{14}\,D_{20}} = \sqrt{(1{,}814\times10^{-3})(1{,}270\times10^{-3})} =1{,}518\times10^{-3}\,\mathrm m.

Passo 3

Número de partículas na fração -14+20:
cada partícula tem volume
V_p = b\,d^3 = 2\,(1{,}518\times10^{-3})^3 =7{,}00\times10^{-9}\:\mathrm{m^3},
logo sua massa é \rho\,V_p. Para N partículas de massa total m=5{,}0\:\mathrm g=0{,}005\:\mathrm{kg}:
N = \frac{m}{\rho\,V_p} = \frac{0{,}005}{2650\,(7{,}00\times10^{-9})} \approx 270.

Passo 4

Área superficial de cada partícula (usando esfericidade \varphi):
A_p = \frac{\pi\,d^2}{\varphi} = \frac{\pi\,(1{,}518\times10^{-3})^2}{0{,}571} \approx1{,}27\times10^{-5}\:\mathrm{m^2}.
Área total da fração:
A_{\text{tot}} = N\,A_p \approx270\,(1{,}27\times10^{-5}) =3{,}4\times10^{-3}\:\mathrm{m^2}.

Passo 5

Número total de partículas na amostra: repetimos o cálculo de N_i para cada fração -10+14, -14+20, -20+28, -28+35, -35+48, -48+65 usando o diâmetro médio geométrico de cada intervalo e somamos. Os resultados aproximados são:
\begin{aligned} \text{f-10+14: }&N_1\approx38,\\\ \text{f-14+20: }&N_2\approx270,\\\ \text{f-20+28: }&N_3\approx1\,530,\\\ \text{f-28+35: }&N_4\approx6\,330,\\\ \text{f-35+48: }&N_5\approx19\,800,\\\ \text{f-48+65: }&N_6\approx50\,400. \end{aligned}
Somando,
N_{\text{total}} = \sum_{i=1}^6 N_i \approx38 + 270 + 1\,530 + 6\,330 + 19\,800 + 50\,400 \approx78\,400.

Resposta

a) Fração -14+20 mesh:
Número de partículas \displaystyle N\approx270.
Área superficial total \displaystyle A_{\text{tot}}\approx3{,}4\times10^{-3}\:\mathrm{m^2}. b) Número total de partículas na amostra \displaystyle N_{\text{total}}\approx7,8\times10^4.

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