Supondo que o material cuja análise granulométrica é a tabela abaixo e \rho_{\mathrm{s}}=3,53 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}, \mathrm{a}=18,6 \mathrm{e} \mathrm{b}=2,1. Calcule:
a) A superfície específica das frações.
b) O número de partículas nessas frações por 50 g de amostra seca.
FRACÃO \mathrm{D}_{\mathbf{i}}(\mathbf{c m}) \Delta \mathrm{x}_{\mathbf{i}}
8 / 10 0,2006 0,3207
10 / 14 0,1410 0,2570
14 / 20 0,1000 0,1590
20 / 28 0,0711 0,0538
28 / 35 0,0503 0,0210
\sum \Delta \mathrm{x}_{\mathrm{i}}=0,8115

Passo 1

O enunciado nos dá cinco classes de tamanho de partículas, cada uma com diâmetro médio \,D_i (em cm) e fração mássica \Delta x_i. Precisamos calcular para cada fração:
  • (a) a superfície específica (área superficial por massa) supondo partículas esféricas de densidade \rho_s=3{,}53,g/c m^{3},
  • (b) o número de partículas em 50 g de amostra seca.
Como a geometria de uma esfera de diâmetro D é
\begin{cases} \text{área} & S=\pi D^2,\\\ \text{volume} & V=\displaystyle\frac{\pi}{6}D^3,\\\ \text{massa} & m_p=\rho_s V=\rho_s\,\frac{\pi}{6}D^3, \end{cases}á
vamos usar estas expressões.

Passo 2

Derivação da superfície específica de cada fração.
Se N_i é o número de partículas da fração i, sua área total é
S_{\rm tot,i}=N_i\,\pi D_i^2
e sua massa é
m_i=N_i\,\frac{\pi}{6}\,\rho_s D_i^3.
A superfície específica (área por unidade de massa) fica então
S_{{\rm sp},i} =\frac{S_{\rm tot,i}}{m_i} =\frac{N_i\,\pi D_i^2}{N_i\,\frac{\pi}{6}\,\rho_s D_i^3} =\frac{6}{\rho_s\,D_i}.

Passo 3

Cálculo numérico de S_{{\rm sp},i}. Como 1,c m^{2}/g = 10^{-4}, m^{2}/g,
S_{{\rm sp},i} =\frac{6}{\rho_s\,D_i}\times10^{-4}\quad\bigl[\mathrm{m}^2/\mathrm{g}\bigr].
Tabelando:
\begin{array}{lcc} \hline \text{Fração} & D_i\;(\mathrm{cm}) & S_{{\rm sp},i}\;(\mathrm{m}^2/\mathrm{g})\\\ \hline 8/10 & 0{,}2006 & \displaystyle\frac{6}{3{,}53\cdot0{,}2006}\times10^{-4}\approx0{,}000848\\[6pt] 10/14 & 0{,}1410 & \displaystyle\frac{6}{3{,}53\cdot0{,}1410}\times10^{-4}\approx0{,}00121\\[6pt] 14/20 & 0{,}1000 & \displaystyle\frac{6}{3{,}53\cdot0{,}1000}\times10^{-4}\approx0{,}00170\\[6pt] 20/28 & 0{,}0711 & \displaystyle\frac{6}{3{,}53\cdot0{,}0711}\times10^{-4}\approx0{,}00239\\[6pt] 28/35 & 0{,}0503 & \displaystyle\frac{6}{3{,}53\cdot0{,}0503}\times10^{-4}\approx0{,}00338\\\ \hline \end{array}]

Passo 4

Derivação do número de partículas N_i em 50 g.
A massa da fração i é
m_i = 50\;\mathrm g\;\times\Delta x_i,
e a massa de cada partícula é
m_p=\rho_s\,\frac{\pi}{6}D_i^3.
Logo
N_i=\frac{m_i}{m_p} =\frac{50\,\Delta x_i}{\rho_s\,\frac{\pi}{6}\,D_i^3} =\frac{6\;\bigl(50\,\Delta x_i\bigr)}{\pi\,\rho_s\,D_i^3}.

Passo 5

Cálculo numérico de N_i. Primeiro m_i=50\,\Delta x_i:
\begin{array}{lcc} \hline \text{Fração} & \Delta x_i & m_i\;(\mathrm{g})\\\ \hline 8/10 & 0{,}3207 & 16{,}035\\\\ 10/14 & 0{,}2570 & 12{,}850\\\\ 14/20 & 0{,}1590 & 7{,}950\\\\ 20/28 & 0{,}0538 & 2{,}690\\\\ 28/35 & 0{,}0210 & 1{,}050\\\ \hline \end{array}
Em seguida
N_i =\frac{6\,m_i}{\pi\,\rho_s\,D_i^3}
e obtemos aproximadamente:
\begin{array}{lcc} \hline \text{Fração} & D_i\;(\mathrm{cm}) & N_i\\\ \hline 8/10 & 0{,}2006 & 1{,}08\times10^3\\\\ 10/14 & 0{,}1410 & 2{,}49\times10^3\\\\ 14/20 & 0{,}1000 & 4{,}30\times10^3\\\\ 20/28 & 0{,}0711 & 4{,}06\times10^3\\\\ 28/35 & 0{,}0503 & 4{,}48\times10^3\\\ \hline \end{array}

Resposta

(a) Superfície específica de cada fração:
8/10: 0,000848 m^{2}/g
10/14: 0,00121 m^{2}/g
14/20: 0,00170 m^{2}/g
20/28: 0,00239 m^{2}/g
28/35: 0,00338 m^{2}/g
(b) Número de partículas em 50 g:
8/10: 1{,}08\times10^3
10/14: 2{,}49\times10^3
14/20: 4{,}30\times10^3
20/28: 4{,}06\times10^3
28/35: 4{,}48\times10^3

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