Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências \left(a_{n}\right) abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
p) a_{n}=n \tan \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = n \tan\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr),
e pede para decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo é análise de sequência usando limites e, em particular, o limite bem-conhecido
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1.

Passo 2

Reescrevemos a_{n} numa forma que permita usar esse limite padrão. Note que
a_{n} = n \,\tan\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) = \frac{\tan\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}}.

Passo 3

Quando n\to\infty, temos \tfrac{1}{n}\to 0. Aplicando
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1
com x=\tfrac{1}{n}, obtemos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\tan\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}} = 1.

Passo 4

Portanto, a sequência converge e seu limite é 1. O critério usado foi o limite de uma função contínua e o limite clássico \tan x/x\to1 quando x\to0.

Resposta

A sequência \bigl(a_{n}\bigr) converge, e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=1.

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