Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências \left(a_{n}\right) abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possível calcule o limite da sequência.
x) a_{n}=\frac{e^{n}+e^{-n}}{e^{n}-e^{-n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_{n}=\frac{e^{n}+e^{-n}}{e^{n}-e^{-n}}
usando um critério adequado e, quando possível, calcular o limite. O conteúdo envolve o comportamento assintótico de sequências exponenciais e o método de divisão pelo termo dominante.

Passo 2

Observamos que, para n\to\infty, vale e^{n}\to\infty e e^{-n}\to0, de modo que numerador e denominador crescem indefinidamente: temos uma indeterminação \infty/\infty. Aplicamos, então, o critério de divisão pelo termo dominante (o maior crescimento exponencial, aqui e^{n}).

Passo 3

Dividimos numerador e denominador de \frac{e^{n}+e^{-n}}{e^{n}-e^{-n}} por e^{n}:
a_{n} =\frac{\displaystyle\frac{e^{n}}{e^{n}}+\frac{e^{-n}}{e^{n}}}{\displaystyle\frac{e^{n}}{e^{n}}-\frac{e^{-n}}{e^{n}}} =\frac{1+e^{-2n}}{1-e^{-2n}}.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}e^{-2n}=0, substituímos no resultado:
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1+e^{-2n}}{1-e^{-2n}} =\frac{1+0}{1-0} =1.
Isso mostra que a sequência converge e seu limite é 1.

Resposta

A sequência converge e \lim_{n\to\infty}a_{n}=1.

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