Os vértices de um triângulo retângulo são (1,-2),(4,-2) e (4,2). Determinar os catetos e assim calcular a área do triângulo e o comprimento da hipotenusa.

Passo 1

O enunciado nos dá os vértices do triângulo:
A=(1,-2), B=(4,-2) e C=(4,2).
O que pede o problema:
  • Determinar quais são os catetos (os comprimentos dos dois lados que se encontram no ângulo reto).
  • Calcular a área do triângulo.
  • Calcular o comprimento da hipotenusa.
Informações relevantes fornecidas:
  • As coordenadas dos três vértices acima são todas as informações necessárias para achar comprimentos e identificar o ângulo reto.

Passo 2

Vamos identificar os lados do triângulo e localizar o ângulo reto sem calcular ainda os comprimentos.
Os segmentos a considerar são AB, BC e AC, onde:
  • AB liga A=(1,-2) a B=(4,-2).
  • BC liga B=(4,-2) a C=(4,2).
  • AC liga A=(1,-2) a C=(4,2).
Observação geométrica simples:
  • As ordenadas (valores de y) de A e B são iguais ( y_A=y_B=-2), logo AB é um segmento horizontal.
  • As abscissas (valores de x) de B e C são iguais ( x_B=x_C=4), logo BC é um segmento vertical.
Um segmento horizontal é perpendicular a um segmento vertical. Portanto AB é perpendicular a BC e o ângulo reto está no vértice B. Assim os catetos são os segmentos AB e BC, e a hipotenusa é AC.

Passo 3

Antes de calcular, vamos lembrar a fórmula que usaremos para comprimentos entre dois pontos no plano.
Fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\text{dist}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Derivação rápida e intuitiva: o deslocamento horizontal é x_2-x_1 e o vertical é y_2-y_1. Esses dois formam os catetos de um triângulo retângulo auxiliar; pela geometria de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo (a distância procurada) é a raiz quadrada da soma dos quadrados desses deslocamentos.

Passo 4

Calcular o comprimento de AB (um cateto).
Usando as coordenadas A=(1,-2) e B=(4,-2):
\text{AB}=\sqrt{(4-1)^2+(-2-(-2))^2}=\sqrt{3^2+0^2}=\sqrt{9}=3.
Observação prática: como AB é horizontal, basta a diferença absoluta nas abscissas: |4-1|=3.

Passo 5

Calcular o comprimento de BC (outro cateto).
Usando B=(4,-2) e C=(4,2):
\text{BC}=\sqrt{(4-4)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{0^2+4^2}=\sqrt{16}=4.
Observação prática: como BC é vertical, basta a diferença absoluta nas ordenadas: |2-(-2)|=4.

Passo 6

Calcular o comprimento da hipotenusa AC.
Usando A=(1,-2) e C=(4,2):
\text{AC}=\sqrt{(4-1)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Nota pedagógica: este é o clássico caso 3- 4- 5 que satisfaz o Teorema de Pitágoras: 3^2+4^2=5^2.

Passo 7

Calcular a área do triângulo.
Para um triângulo retângulo a área é metade do produto dos catetos (base e altura):
\text{Área}=\frac{1}{2}\times \text{cateto}_1 \times \text{cateto}_2.Á
Aqui os catetos valem 3 e 4, então
\text{Área}=\frac{1}{2}\times 3 \times 4=\frac{1}{2}\times 12=6.Á

Resposta

Catetos: 3 e 4
Área: 6
Hipotenusa: 5

Exercícios relacionados