Os vértices de um triângulo retângulo são
e
. Determinar os catetos e assim calcular a área do triângulo e o comprimento da hipotenusa.
Passo 1
O enunciado nos dá os vértices do triângulo:
,
e
.
O que pede o problema:
- Determinar quais são os catetos (os comprimentos dos dois lados que se encontram no ângulo reto).
- Calcular a área do triângulo.
- Calcular o comprimento da hipotenusa.
Informações relevantes fornecidas:
- As coordenadas dos três vértices acima são todas as informações necessárias para achar comprimentos e identificar o ângulo reto.
Passo 2
Vamos identificar os lados do triângulo e localizar o ângulo reto sem calcular ainda os comprimentos.
Os segmentos a considerar são
,
e
, onde:
-
liga a . -
liga a . -
liga a .
Observação geométrica simples:
- As ordenadas (valores de
) de e são iguais ( ), logo é um segmento horizontal. - As abscissas (valores de
) de e são iguais ( ), logo é um segmento vertical.
Um segmento horizontal é perpendicular a um segmento vertical. Portanto
é perpendicular a
e o ângulo reto está no vértice
. Assim os catetos são os segmentos
e
, e a hipotenusa é
.
Passo 3
Antes de calcular, vamos lembrar a fórmula que usaremos para comprimentos entre dois pontos no plano.
Fórmula da distância entre dois pontos
e
:
Derivação rápida e intuitiva: o deslocamento horizontal é
e o vertical é
. Esses dois formam os catetos de um triângulo retângulo auxiliar; pela geometria de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo (a distância procurada) é a raiz quadrada da soma dos quadrados desses deslocamentos.
Passo 4
Calcular o comprimento de
(um cateto).
Usando as coordenadas
e
:
Observação prática: como
é horizontal, basta a diferença absoluta nas abscissas:
.
Passo 5
Calcular o comprimento de
(outro cateto).
Usando
e
:
Observação prática: como
é vertical, basta a diferença absoluta nas ordenadas:
.
Passo 6
Calcular o comprimento da hipotenusa
.
Usando
e
:
Nota pedagógica: este é o clássico caso
-
-
que satisfaz o Teorema de Pitágoras:
.
Passo 7
Calcular a área do triângulo.
Para um triângulo retângulo a área é metade do produto dos catetos (base e altura):
Aqui os catetos valem
e
, então
Resposta
Catetos:
e
Área:
Hipotenusa:
Área:
Hipotenusa: