Seja ABC um triângulo cujos ângulos em A e B são 30^{\circ} e 45^{\circ}, respectivamente. Se o lado oposto ao ângulo B mede 9, a área desse triângulo corresponde a
(A) \frac{81(\sqrt{3}+1)}{8}.
(B) \frac{81}{8}.
(C) \frac{81 \sqrt{3}}{4}.
(D) \frac{81 \sqrt{3}}{8}.
(e) \frac{81(\sqrt{3}+1)}{4}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Triângulo ABC.
  • \angle A = 30^\circ.
  • \angle B = 45^\circ.
  • O lado oposto ao ângulo B mede 9. (Denotando por b o lado oposto a B, temos b=9.)
  • Pergunta: qual é a área do triângulo?

Passo 2

Determinar o ângulo restante C. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^\circ. Logo,
\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ.

Passo 3

Estratégia / fórmulas que vamos usar (explicadinha):
  • Notação de lados: a é o lado oposto a \angle A, b oposto a \angle B, c oposto a \angle C.
  • Fórmula da área usando dois lados e o seno do ângulo entre eles:
\text{área} = \tfrac{1}{2}\cdot(\text{lado}_1)\cdot(\text{lado}_2)\cdot\sin(\text{ângulo entre eles}).áâ
No triângulo, por exemplo, a área pode ser escrita como \tfrac{1}{2}ac\sin B (porque a e c formam o ângulo B entre si).
  • Para escrever a e c em termos de b podemos usar a Lei dos Senos, que diz
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.
Assim,
a = b\frac{\sin A}{\sin B},\qquad c = b\frac{\sin C}{\sin B}.
Substituindo em \text{área}=\tfrac{1}{2}ac\sin Bá obtemos (mostro passo a passo):
\text{área}=\tfrac{1}{2}\,a c \sin Bá
=\tfrac{1}{2}\left(b\frac{\sin A}{\sin B}\right)\left(b\frac{\sin C}{\sin B}\right)\sin B
=\tfrac{1}{2}\,b^{2}\,\frac{\sin A\sin C}{\sin^{2}B}\,\sin B
=\tfrac{1}{2}\,b^{2}\,\frac{\sin A\sin C}{\sin B}.
Portanto temos uma fórmula prática para a área em termos de b e dos senos dos ângulos:
\boxed{\text{área}=\tfrac{1}{2}b^{2}\,\dfrac{\sin A\sin C}{\sin B}.}á

Passo 4

Calcular os senos necessários (vou mostrar como computar cada um com valores conhecidos):
  • \sin A=\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}.
  • \sin B=\sin 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • \sin C=\sin 105^\circ. Para \sin 105^\circ uso a fórmula do seno da soma:
\sin(60^\circ+45^\circ)=\sin60^\circ\cos45^\circ+\cos60^\circ\sin45^\circ.
Substituindo os valores conhecidos:
\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos60^\circ=\tfrac{1}{2},\quad \sin45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2},
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\sin105^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{\sqrt{2}}{4}\,(\sqrt{3}+1).

Passo 5

Substituir os senos e b=9 na fórmula da área e simplificar com calma:
Começando por computar \sin A\sin C:
\sin A\sin C=\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)\right) =\frac{\sqrt{2}}{8}(\sqrt{3}+1).
Agora dividir por \sin B=\tfrac{\sqrt{2}}{2}:
\frac{\sin A\sin C}{\sin B} =\frac{\frac{\sqrt{2}}{8}(\sqrt{3}+1)}{\frac{\sqrt{2}}{2}} =\frac{\sqrt{2}}{8}(\sqrt{3}+1)\cdot\frac{2}{\sqrt{2}} =\frac{1}{4}(\sqrt{3}+1).
Agora aplicar a fórmula da área:
\text{área}=\tfrac{1}{2}b^{2}\cdot\frac{\sin A\sin C}{\sin B} =\tfrac{1}{2}\cdot 9^{2}\cdot\frac{1}{4}(\sqrt{3}+1).á
Como 9^{2}=81,
\text{área}= \tfrac{1}{2}\cdot 81\cdot \tfrac{1}{4}(\sqrt{3}+1) =81\cdot \tfrac{1}{8}(\sqrt{3}+1).á
Portanto a expressão simplificada para a área é
\text{área}=\frac{81(\sqrt{3}+1)}{8}.á

Passo 6

Verificação rápida: a expressão encontrada corresponde à alternativa (A) da lista de opções. Boa! Isso fecha calculando tudo sem calculadora e com cancelamentos simples.

Resposta

(A) \dfrac{81(\sqrt{3}+1)}{8}

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