Seja ABC um triângulo cujos ângulos em A e B são
e
, respectivamente. Se o lado oposto ao ângulo B mede 9, a área desse triângulo corresponde a
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(e)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(e)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Triângulo
. -
. -
. - O lado oposto ao ângulo
mede . (Denotando por o lado oposto a , temos .) - Pergunta: qual é a área do triângulo?
Passo 2
Determinar o ângulo restante
. A soma dos ângulos internos de um triângulo é
. Logo,
Passo 3
Estratégia / fórmulas que vamos usar (explicadinha):
- Notação de lados:
é o lado oposto a , oposto a , oposto a . - Fórmula da área usando dois lados e o seno do ângulo entre eles:
No triângulo, por exemplo, a área pode ser escrita como
(porque
e
formam o ângulo
entre si).
- Para escrever
e em termos de podemos usar a Lei dos Senos, que diz
Assim,
Substituindo em
obtemos (mostro passo a passo):
Portanto temos uma fórmula prática para a área em termos de
e dos senos dos ângulos:
Passo 4
Calcular os senos necessários (vou mostrar como computar cada um com valores conhecidos):
-
-
-
. Para uso a fórmula do seno da soma:
Substituindo os valores conhecidos:
logo
Passo 5
Substituir os senos e
na fórmula da área e simplificar com calma:
Começando por computar :
Começando por computar
Agora dividir por
:
Agora aplicar a fórmula da área:
Como
,
Portanto a expressão simplificada para a área é
Passo 6
Verificação rápida: a expressão encontrada corresponde à alternativa (A) da lista de opções. Boa! Isso fecha calculando tudo sem calculadora e com cancelamentos simples.
Resposta
(A)