Reta tangente a círculos: Dada a equação do círculo x^2+y^2=25 e o ponto P(3,4), determine a equação da reta tangente ao círculo no ponto P.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao círculo de centro na origem e raio 5, cuja equação é
x^2+y^2=25,
no ponto P(3,4). Vamos usar que, para um círculo com centro em (0,0), a reta tangente em P é perpendicular ao raio OP.

Passo 2

Primeiro, conferimos que P pertence ao círculo, ou seja, substituímos (x,y)=(3,4) em x^2+y^2=25:
3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25,
então P está de fato na circunferência.

Passo 3

O raio que vai de O(0,0) a P(3,4) tem coeficiente angular dado por
mraio = 4 - 03 - 0 = 43

Passo 4

A reta tangente é perpendicular ao raio, logo seu coeficiente angular mtan satisfaz
mtancdot mraio = -1 Longrightarrow mtan = -1mraio = -14/3 = -34

Passo 5

Usamos a forma ponto-declive da reta tangente em P(3,4):
y - 4 = -34,(x - 3)

Passo 6

Se quisermos a forma geral, multiplicamos ambos os lados por 4 e reorganizamos:
4(y - 4) = -3(x - 3) Longrightarrow 4y - 16 = -3x + 9 Longrightarrow 3x + 4y - 25 = 0

Resposta

A equação da reta tangente é
y - 4 = -34(x - 3) ou 3x + 4y - 25 = 0

Exercícios relacionados