Reta tangente a círculos: Determine a equação da reta tangente ao círculo (x-2)^2+(y+1)^2=9 no ponto P(4,2).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao círculo (x-2)^2+(y+1)^2=9 no ponto P(4,2). O conteúdo utilizado é geometria analítica de círculos e retas: em particular, a reta tangente a um círculo em um ponto é perpendicular ao raio que une o centro do círculo a esse ponto.

Passo 2

Identificamos o centro C do círculo a partir da forma (x-2)^2+(y+1)^2=9. O centro é
C = (2,,-1)
O raio é 3, mas o que importa aqui é o vetor CP = (4-2,;2-(-1)) = (2,;3). A inclinação do raio é
mraio = De<a yDe<a x = 32

Passo 3

Como a reta tangente é perpendicular ao raio, sua inclinação mtan>=nte é o negativo do inverso de mraio, isto é,
mtan>=nte = -1mraio = -1tfrac32 = -23

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação da reta passando por P(4,2) com inclinação -tfrac23:
y - 2 = -tfrac23,(x - 4)
Para simplificar, multiplicamos tudo por 3:
3(y-2) = -2(x-4) ;Longrightarrow; 3y - 6 = -2x + 8 ;Longrightarrow; 2x + 3y -14 = 0

Resposta

A equação da reta tangente é
2x + 3y -14 = 0

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