Um retângulo é inscrito sob a curva
no primeiro quadrante. Determine as dimensões do retângulo que maximizam a área.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um retângulo inscrito sob a curva y=4−x² no primeiro quadrante, apoiado nos eixos. Queremos escolher as dimensões que maximizam sua área. O conteúdo aplicado é otimização de funções usando derivadas.
Passo 2
Para formular o problema, seja (x,y) o canto superior direito do retângulo. Como o retângulo está sob a curva, temos y=4−x². A base vale x e a altura vale y. Logo, a área A em função de x é:
Passo 3
Para encontrar o máximo, calculamos a derivada de A(x):
Passo 4
Igualando A’(x) a zero, achamos o ponto crítico:
Passo 5
Para verificar que é máximo, usamos a segunda derivada:
Passo 6
Em x=2/√3, A’’(x)=−6·(2/√3)<0, confirmação de máximo. Calculamos a altura correspondente: y=4−x²=4−(4/3)=8/3. Assim, as dimensões que maximizam a área são base x=2/√3 e altura y=8/3.
Resposta
Base = 2/\sqrt{3}, Altura = 8/3