Um retângulo é inscrito sob a curva y=4-x^2 no primeiro quadrante. Determine as dimensões do retângulo que maximizam a área.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um retângulo inscrito sob a curva y=4−x² no primeiro quadrante, apoiado nos eixos. Queremos escolher as dimensões que maximizam sua área. O conteúdo aplicado é otimização de funções usando derivadas.

Passo 2

Para formular o problema, seja (x,y) o canto superior direito do retângulo. Como o retângulo está sob a curva, temos y=4−x². A base vale x e a altura vale y. Logo, a área A em função de x é:
A(x)=x,y=x(4−x^2)=4x−x^3

Passo 3

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada de A(x):
A'(x)=ddx(4x−x^3)=4−3x^2

Passo 4

Igualando A’(x) a zero, achamos o ponto crítico:
4−3x^2=0Rightarrow x^2=43Rightarrow x=2raiz3

Passo 5

Para verificar que é máximo, usamos a segunda derivada:
A''(x)=ddx(4−3x^2)=−6x

Passo 6

Em x=2/√3, A’’(x)=−6·(2/√3)<0, confirmação de máximo. Calculamos a altura correspondente: y=4−x²=4−(4/3)=8/3. Assim, as dimensões que maximizam a área são base x=2/√3 e altura y=8/3.

Resposta

Base = 2/\sqrt{3}, Altura = 8/3

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