Reverta a ordem da iterada e calcule:
integral-4^0 integralraiz-x^2 x^-2 / 3 raizy^5 / 3+1 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral-4^0!integralraiz-x^2 x^-2/3,raizy^5/3+1,dy,dx
invertendo a ordem de integração. O conteúdo principal envolve entender a região de integração no plano xy, trocar os limites, e então avaliar a integral resultante.

Passo 2

Vamos descrever a região R. Temos
-4 <= x <= 0, raiz-x <= y <= 2
A desigualdade raiz-x<= y equivale a -x<= y^2, ou seja x>= -y^2. Como x<=0, obtemos
- y^2 <= x <= 0
Para encontrar o intervalo de y, note que em x=-4 a condição raiz-x<= y y>=2, e em x=0 y>=0. Assim, no conjunto todo, y varia de 0 até 2.

Passo 3

Com isso, trocamos a ordem de integração:
integral-4^0!integralraiz-x^2 x^-2/3,raizy^5/3+1,dy,dx = integraly=0^2!integralx=-y^2^0 x^-2/3,raizy^5/3+1,dx,dy
Como raizy^5/3+1 independe de x, podemos fatorá-la:
integral0^2raizy^5/3+1 l(integral-y^2^0x^-2/3,dxr)dy

Passo 4

Calculemos a integral interna em x:
integral x^-2/3,dx = x^(-2/3)+1(-2/3)+1 = x^1/31/3 =3,x^1/3
Logo
integral-y^2^0x^-2/3,dx =3l[,x^1/3r]x=-y^2^x=0 =3l(0 - (-y^2)^1/3r) =3,y^2/3

Passo 5

A integral torna-se
integral0^2 raizy^5/3+1,l(3,y^2/3r),dy =3integral0^2y^2/3raizy^5/3+1,dy

Passo 6

Para avaliar
integral0^2y^2/3raizy^5/3+1,dy,
faremos a substituição
u = y^5/3+1, du = tfrac53y^2/3,dy ;Longrightarrow; y^2/3,dy = tfrac35,du
Quando y=0, u=1. Quando y=2, u=2^5/3+1.

Passo 7

Substituindo,
3integral0^2y^2/3raizy^5/3+1,dy =3integralu=1^u=2^5/3+1raizu,35,du =95integral1^2^5/3+1u^1/2,du
E
integral u^1/2,du =u^3/2tfrac32 =tfrac23,u^3/2
Logo
95,cdottfrac23,u^3/2 =65,u^3/2
avaliado de u=1 até u=2^5/3+1.

Passo 8

Portanto o valor da integral é
65l[,(2^5/3+1)^3/2-1^3/2r] =65l((2^5/3+1)^3/2-1r)

Resposta

boxed65l((2^5/3+1)^3/2-1r)

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