[Revisão] Use o algoritmo de Euclides para calcular o \operatorname{mdc}(a, b) nos pares abaixo, escrevendo todas as divisões sucessivas:
\operatorname{mdc}(252,105)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o \operatorname{mdc}(252,105) usando o algoritmo de Euclides, escrevendo todas as divisões sucessivas.
Dados fornecidos: 252 e 105.

Passo 2

O que vamos fazer (explicação didática do método que será usado): faremos divisões sucessivas do tipo
a = b\cdot q + r,
onde a e b são inteiros com a\ge b>0, q é o quociente inteiro e r é o resto com 0\le r<b. Em cada etapa substituímos o par (a,b) por (b,r) e repetimos. A sequência de restos é estritamente decrescente e termina quando o resto for zero; o último resto não nulo é o \operatorname{mdc}. Intuitivamente: qualquer divisor comum de a e b divide também r; e qualquer divisor comum de b e r divide a. Por isso o conjunto de divisores comuns é preservado e o algoritmo encontra o maior deles.

Passo 3

Primeira divisão: dividimos 252 por 105. Calculamos o quociente inteiro e o resto:
252 = 105\cdot 2 + 42.
Verificação das contas: 105\cdot 2 = 210 e 252-210 = 42. O resto 42 satisfaz 0\le 42<105.

Passo 4

Segunda divisão: agora dividimos 105 pelo resto anterior 42:
105 = 42\cdot 2 + 21.
Verificação: 42\cdot 2 = 84 e 105-84 = 21. O resto 21 satisfaz 0\le 21<42.

Passo 5

Terceira divisão: dividimos 42 pelo novo resto 21:
42 = 21\cdot 2 + 0.
Aqui o resto é 0, então o algoritmo termina.

Passo 6

Conclusão do algoritmo: como o último resto não nulo foi 21, temos
\operatorname{mdc}(252,105)=21.
Explicação curta do porquê: qualquer divisor comum de 252 e 105 divide os restos sucessivos 42 e 21; e qualquer divisor comum de 105 e 42 divide 252. Assim o maior divisor comum é o último resto não nulo.

Passo 7

Verificação extra por fatoração (para ficar mais seguro): fatorando,
252 = 2^2\cdot 3^2\cdot 7,
105 = 3\cdot 5\cdot 7.
Os fatores primos comuns são 3 e 7; multiplicando 3\cdot 7 obtemos 21, confirmando o resultado. Também dá para verificar que 252/21=12 e 105/21=5, e 12 e 5 não têm divisores comuns além de 1.

Resposta

21

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