Objetivo: encontrar x\in\mathbb{R}^4 tal que A x=b usando fatoração L U.
Nada mais é pedido além de resolver o sistema; a resposta final deve ser apresentada com 5 casas decimais após a vírgula.]
Passo 2
Estratégia e observações iniciais (rápida e prática):
Em geral, para resolver A x=b por fatoração, podemos obter matrizes P,L,U tais que P A = L U, onde P é matriz de permutação (se necessário), L é triangular inferior com diagonais iguais a 1 e U é triangular superior.
Depois resolvemos, em ordem: L y = P b (substituição para frente) e U x = y (substituição para trás).
Ao aplicar eliminação, se um pivô for zero (ou muito pequeno), usamos permutações (pivotamento parcial). Aqui veremos que é preciso permutar linhas para evitar pivô nulo.
Vou executar a fatoração passo a passo (método Doolittle com pivotamento parcial), mostrando como se obtêm P,L,U.
Passo 3
Primeiro passo da eliminação (coluna 1, k=1):
Procuramos o maior valor em módulo na coluna 1 entre as linhas 1 a 4. Os valores são 1,2,3,1; o máximo é 3 na linha 3. Então permutamos a linha 1 com a linha 3.
Após essa permutação (marcando P), a linha 1 passa a ser a original 3. Escrevendo U inicial (após a permutaçao):
Até aqui, P já registrou a troca (1\leftrightarrow 3) e as primeiras colunas de L (abaixo da diagonal) são \tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}.]
Passo 4
Segundo passo da eliminação (coluna 2, k=2):
Agora olhamos a coluna 2 nas linhas 2 a 4 do U atual: os valores são 0,0,-1. O maior em módulo é -1 na linha 4 (da matriz atual), logo permutamos a linha 2 com a linha 4.
Quando permutamos linhas em U na etapa k, devemos também permutar as correspondentes primeiras k-1 colunas de L (para manter coerência dos multiplicadores já calculados). Aqui k-1=1: trocamos as entradas \ell_{21} e \ell_{41}.
Após a permuta (agora a ordem das linhas efetivas é original [3,4,1,2]), o U fica:
Nenhuma alteração nas linhas 3 e 4 neste passo (já têm zeros na coluna 2).]
Passo 5
Terceiro passo da eliminação (coluna 3, k=3):
Olhando a coluna 3 nas linhas 3 e 4 temos \tfrac{2}{3} e \tfrac{1}{3}; o maior em módulo é \tfrac{2}{3} na linha 3, logo não há permutações nesta etapa.
Calculamos o multiplicador para eliminar o elemento em (4,3):