Revolva o sistema abainco utilizando fatoração L.U.
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+z+w=3 \\\\ 2 x+4 y+z+3 w=6 \\\\ 3 x+6 y+z+4 w=8 \\\ x+y+2 z+w=4 \end{array}\right.
Abs: Use 5 caras decimais após a virgula.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo usando fatoração L.U. (se necessário, com permutações de linha):
\left\{\begin{array}{l} x+2y+z+w=3\\[4pt] 2x+4y+z+3w=6\\[4pt] 3x+6y+z+4w=8\\[4pt] x+y+2z+w=4 \end{array}\right.
Lista das informações dadas (retiradas do enunciado):
  • Matriz dos coeficientes A e vetor b são
A=\begin{pmatrix} 1&2&1&1\\[4pt] 2&4&1&3\\[4pt] 3&6&1&4\\[4pt] 1&1&2&1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\\[4pt]8\\[4pt]4\end{pmatrix}.
  • Objetivo: encontrar x\in\mathbb{R}^4 tal que A x=b usando fatoração L U.
    Nada mais é pedido além de resolver o sistema; a resposta final deve ser apresentada com 5 casas decimais após a vírgula.]

Passo 2

Estratégia e observações iniciais (rápida e prática):
  • Em geral, para resolver A x=b por fatoração, podemos obter matrizes P,L,U tais que P A = L U, onde P é matriz de permutação (se necessário), L é triangular inferior com diagonais iguais a 1 e U é triangular superior.
  • Depois resolvemos, em ordem: L y = P b (substituição para frente) e U x = y (substituição para trás).
  • Ao aplicar eliminação, se um pivô for zero (ou muito pequeno), usamos permutações (pivotamento parcial). Aqui veremos que é preciso permutar linhas para evitar pivô nulo.
Vou executar a fatoração passo a passo (método Doolittle com pivotamento parcial), mostrando como se obtêm P,L,U.

Passo 3

Primeiro passo da eliminação (coluna 1, k=1):
  • Procuramos o maior valor em módulo na coluna 1 entre as linhas 1 a 4. Os valores são 1,2,3,1; o máximo é 3 na linha 3. Então permutamos a linha 1 com a linha 3.
  • Após essa permutação (marcando P), a linha 1 passa a ser a original 3. Escrevendo U inicial (após a permutaçao):
U^{(1)}= \begin{pmatrix} 3 & 6 & 1 & 4\\[4pt] 2 & 4 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
  • Calculamos os multiplicadores (entradas de L na coluna 1):
\ell_{21}=\frac{2}{3},\qquad \ell_{31}=\frac{1}{3},\qquad \ell_{41}=\frac{1}{3}.
  • Eliminando abaixo do pivô u_{11}=3 obtemos (subtraindo \ell_{i1} vezes a linha 1 das linhas i=2,3,4):
U^{(1)}\rightarrow \begin{pmatrix} 3 & 6 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & -1 & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
Até aqui, P já registrou a troca (1\leftrightarrow 3) e as primeiras colunas de L (abaixo da diagonal) são \tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}.]

Passo 4

Segundo passo da eliminação (coluna 2, k=2):
  • Agora olhamos a coluna 2 nas linhas 2 a 4 do U atual: os valores são 0,0,-1. O maior em módulo é -1 na linha 4 (da matriz atual), logo permutamos a linha 2 com a linha 4.
  • Quando permutamos linhas em U na etapa k, devemos também permutar as correspondentes primeiras k-1 colunas de L (para manter coerência dos multiplicadores já calculados). Aqui k-1=1: trocamos as entradas \ell_{21} e \ell_{41}.
  • Após a permuta (agora a ordem das linhas efetivas é original [3,4,1,2]), o U fica:
U^{(2)}= \begin{pmatrix} 3 & 6 & 1 & 4\\[4pt] 0 & -1 & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
  • Atualizando L (após troca das entradas da coluna 1 entre as linhas 2 e 4), as entradas já conhecidas na coluna 1 passam a ser:
\ell_{21}=\frac{1}{3},\qquad \ell_{31}=\frac{1}{3},\qquad \ell_{41}=\frac{2}{3}.
  • Agora calculamos os multiplicadores na coluna 2 (para eliminar abaixo de u_{22}=-1):
\ell_{32}=\frac{0}{-1}=0,\qquad \ell_{42}=\frac{0}{-1}=0.
Nenhuma alteração nas linhas 3 e 4 neste passo (já têm zeros na coluna 2).]

Passo 5

Terceiro passo da eliminação (coluna 3, k=3):
  • Olhando a coluna 3 nas linhas 3 e 4 temos \tfrac{2}{3} e \tfrac{1}{3}; o maior em módulo é \tfrac{2}{3} na linha 3, logo não há permutações nesta etapa.
  • Calculamos o multiplicador para eliminar o elemento em (4,3):
\ell_{43}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{2}.
  • Eliminando, a última linha de U fica com zero até a penúltima coluna e o pivô final:
U^{(3)}= \begin{pmatrix} 3 & 6 & 1 & 4\\[4pt] 0 & -1 & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Matriz P, L e U finais (exatas, em frações):
  • A permutação final (sequência de trocas) leva as linhas originais para a ordem [3,4,1,2]. Assim
P= \begin{pmatrix} 0&0&1&0\\[4pt] 0&0&0&1\\[4pt] 1&0&0&0\\[4pt] 0&1&0&0 \end{pmatrix},
ou seja P A = L U.
  • A matriz L (triangular inferior, diagonais iguais a 1) é
L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{3} & 1 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{3} & 0 & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{2}{3} & 0 & \tfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}.
  • A matriz U (triangular superior) é
U= \begin{pmatrix} 3 & 6 & 1 & 4\\[4pt] 0 & -1 & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Breve verificação: multiplicando L U obtém-se P A (isto confirma a fatoração).]

Passo 7

Resolvendo o sistema usando P,L,U:
  • Como P A = L U e queremos A x=b, multiplicamos ambos os lados por P: P A x = P b. Logo L U x = P b.
  • Primeiro passo: resolver L y = P b (substituição para frente). Calculamos P b (permuta as linhas de b segundo a ordem [3,4,1,2]):
P b = \begin{pmatrix}8\\[4pt]4\\[4pt]3\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Agora resolvemos L y = P b componente a componente:
  1. y_1 = 8.
  2. \tfrac{1}{3}y_1 + y_2 = 4 \Rightarrow y_2 = 4 - \tfrac{1}{3}\cdot 8 = \tfrac{4}{3}.
  3. \tfrac{1}{3}y_1 + y_3 = 3 \Rightarrow y_3 = 3 - \tfrac{1}{3}\cdot 8 = \tfrac{1}{3}.
  4. \tfrac{2}{3}y_1 + \tfrac{1}{2}y_3 + y_4 = 6 \Rightarrow y_4 = 6 - \tfrac{2}{3}\cdot 8 - \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{2}.
Portanto
y=\begin{pmatrix}8\\[4pt]\tfrac{4}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora resolvemos U x = y (substituição para trás). Escrevendo as equações de baixo para cima:
  1. Da linha 4: \tfrac{1}{2}x_4 = \tfrac{1}{2} \Rightarrow x_4 = 1.
  2. Da linha 3: \tfrac{2}{3}x_3 - \tfrac{1}{3}x_4 = \tfrac{1}{3}. Substituindo x_4=1:
\tfrac{2}{3}x_3 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{3} \Rightarrow \tfrac{2}{3}x_3 = \tfrac{2}{3} \Rightarrow x_3 = 1.
  1. Da linha 2: -x_2 + \tfrac{5}{3}x_3 - \tfrac{1}{3}x_4 = \tfrac{4}{3}. Substituindo x_3=1, x_4=1:
-x_2 + \tfrac{5}{3} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{4}{3} \Rightarrow -x_2 + \tfrac{4}{3} = \tfrac{4}{3} \Rightarrow x_2 = 0.
  1. Da linha 1: 3x_1 + 6x_2 + x_3 + 4x_4 = 8. Substituindo x_2=0,x_3=1,x_4=1:
3x_1 + 0 + 1 + 4 = 8 \Rightarrow 3x_1 = 3 \Rightarrow x_1 = 1.
Solução exata (fracionária): x_1=1,\; x_2=0,\; x_3=1,\; x_4=1.

Resposta

x_1=1,00000
x_2=0,00000
x_3=1,00000
x_4=1,00000

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