Coeficientes das incógnitas formam a matriz A e o lado direito é o vetor b.
Não foi pedido um método inicial específico nem uma tolerância: a questão é teórica — mostrar que a sequência de iterações de Gauss–Seidel convergirá para a solução exata (independente do chute inicial).
A partir daqui começamos a resolução propriamente dita.]
Passo 2
Definição do método de Gauss–Seidel e do que significa convergir.
Seja A a matriz de coeficientes e b o vetor do lado direito. Fazemos a separação clássica
A=D+L+U,
onde D é a diagonal de A, L é a parte triangular estritamente inferior (com sinal positivo, i.e. os coeficientes debaixo da diagonal de A) e U é a parte triangular estritamente superior.
O método de Gauss–Seidel gera uma sequência \{x^{(k)}\} pela fórmula iterativa em componentes:
Convergência do método significa que x^{(k)}\to x^\star quando k\to\infty, e o limite x^\star satisfaz x^\star=A^{-1}b (ou seja, a solução exata do sistema).
Uma condição suficiente bem conhecida que garante convergência para qualquer chute inicial é: se A for estritamente diagonal dominante pelas linhas (i.e. |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| para todo i), então o método de Gauss–Seidel converge.
Nos próximos passos vamos verificar essa condição para a matriz deste sistema.
Passo 3
Escrever a matriz A e o vetor b explicitamente (tirados do enunciado).
Concluímos que todas as linhas satisfazem |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|. Ou seja, A é estritamente diagonal dominante por linhas.]
Passo 4
Aplicando o teorema de convergência.
Teorema (suficiente): Se A é estritamente diagonal dominante por linhas, então a iteração de Gauss–Seidel converge para a única solução do sistema linear Ax=b, para qualquer chute inicial x^{(0)}.
Explicação curta e intuitiva do porquê (sem provas longas): diagonal dominante significa que cada variável tem um coeficiente na diagonal que domina a soma dos acoplamentos com as demais variáveis. Ao iterar, as atualizações corrigem os erros de forma contractiva: os termos fora da diagonal são pequenos comparados à diagonal, portanto o operador iterativo diminui o erro a cada passo. Formalmente, a dominância garante que alguma norma subordinada faz com que a norma do operador iterativo G_{GS} seja menor que 1, implicando que \rho(G_{GS})<1 (onde \rho é o raio espectral) e então x^{(k)}\to (I-G_{GS})^{-1}c = A^{-1}b.
Como já verificamos a dominância estrita, por esse teorema temos que a sequência gerada por Gauss–Seidel converge para a solução exata do sistema, independentemente do chute inicial.
No próximo passo encontro explicitamente essa solução exata (para que fique claro qual é o limite).
Passo 5
Encontrar a solução exata do sistema (eliminação e retro-substituição com contas detalhadas).
Conclusão final ligando tudo: porque A é estritamente diagonal dominante por linhas (Passo 3), aplicando o teorema do Passo 4 a iteração de Gauss–Seidel converge para a única solução do sistema, que encontramos explicitamente no Passo 5 como
Ou seja, qualquer sequência \{x^{(k)}\} gerada por Gauss–Seidel a partir de qualquer chute inicial converge para esse vetor.
Dica prática para a prova: sempre que o sistema tiver diagonais com valor absoluto estritamente maior que a soma dos demais coeficientes da linha, você pode afirmar rapidamente que Gauss–Seidel (e também Jacobi) convergem; isso evita calcular matrizes de iteração ou autovalores.]