Mostre que a sequência gerada pelo método de Gauss-Seidel converge para a solução exata do sistema:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+0,5 x_{2}-0,1 x_{3}+0,1 x_{4}=0,2 \\\\ 0,2 x_{1}+x_{2}-0,2 x_{3}-0,1 x_{4}=-2,6 \\\\ -0,1 x_{1}-0,2 x_{2}+x_{3}+0,2 x_{4}=1 \\\\ 0,1 x_{1}+0,3 x_{2}+0,2 x_{3}+x_{4}=-2,5 \end{array}\right.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais são os dados que temos.
O enunciado pede: mostrar que a sequência gerada pelo método de Gauss–Seidel converge para a solução exata do sistema linear dado.
O sistema dado é:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+0,5 x_{2}-0,1 x_{3}+0,1 x_{4}=0,2\\[4pt] 0,2 x_{1}+x_{2}-0,2 x_{3}-0,1 x_{4}=-2,6\\[4pt] -0,1 x_{1}-0,2 x_{2}+x_{3}+0,2 x_{4}=1\\[4pt] 0,1 x_{1}+0,3 x_{2}+0,2 x_{3}+x_{4}=-2,5 \end{array}\right.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
  • Coeficientes das incógnitas formam a matriz A e o lado direito é o vetor b.
  • Não foi pedido um método inicial específico nem uma tolerância: a questão é teórica — mostrar que a sequência de iterações de Gauss–Seidel convergirá para a solução exata (independente do chute inicial).
A partir daqui começamos a resolução propriamente dita.]

Passo 2

Definição do método de Gauss–Seidel e do que significa convergir.
Seja A a matriz de coeficientes e b o vetor do lado direito. Fazemos a separação clássica
A=D+L+U,
onde D é a diagonal de A, L é a parte triangular estritamente inferior (com sinal positivo, i.e. os coeficientes debaixo da diagonal de A) e U é a parte triangular estritamente superior.
O método de Gauss–Seidel gera uma sequência \{x^{(k)}\} pela fórmula iterativa em componentes:
\text{para }i=1,\dots,n:\quad x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}\,x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr).
Significado dos símbolos:
  • x^{(k)}=(x_1^{(k)},\dots,x_n^{(k)})^T é a aproximação na iteração k.
  • a_{ij} são os elementos de A.
  • No cálculo de x_i^{(k+1)} usa-se as componentes já atualizadas x_j^{(k+1)} para j<i e as componentes antigas x_j^{(k)} para j>i.
Em forma matricial a iteração é
x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}\bigl(-U x^{(k)} + b\bigr)
ou
x^{(k+1)}=G_{GS}\,x^{(k)} + c,\quad\text{onde }G_{GS}=-(D+L)^{-1}U,\; c=(D+L)^{-1}b.
Convergência do método significa que x^{(k)}\to x^\star quando k\to\infty, e o limite x^\star satisfaz x^\star=A^{-1}b (ou seja, a solução exata do sistema).
Uma condição suficiente bem conhecida que garante convergência para qualquer chute inicial é: se A for estritamente diagonal dominante pelas linhas (i.e. |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| para todo i), então o método de Gauss–Seidel converge.
Nos próximos passos vamos verificar essa condição para a matriz deste sistema.

Passo 3

Escrever a matriz A e o vetor b explicitamente (tirados do enunciado).
A = \begin{pmatrix} 1 & 0{,}5 & -0{,}1 & 0{,}1\\[4pt] 0{,}2 & 1 & -0{,}2 & -0{,}1\\[4pt] -0{,}1 & -0{,}2 & 1 & 0{,}2\\[4pt] 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}2 & 1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}0{,}2\\[2pt]-2{,}6\\[2pt]1\\[2pt]-2{,}5\end{pmatrix}.
Agora verificamos a dominância diagonal linha a linha. Para cada linha i calculamos |a_{ii}| e s_i=\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Linha 1:
|a_{11}|=1,\qquad s_1=|0{,}5|+|{-}0{,}1|+|0{,}1|=0{,}5+0{,}1+0{,}1=0{,}7.
Logo |a_{11}|=1>0{,}7=s_1.
Linha 2:
|a_{22}|=1,\qquad s_2=|0{,}2|+|{-}0{,}2|+|{-}0{,}1|=0{,}2+0{,}2+0{,}1=0{,}5.
Logo |a_{22}|=1>0{,}5=s_2.
Linha 3:
|a_{33}|=1,\qquad s_3=|{-}0{,}1|+|{-}0{,}2|+|0{,}2|=0{,}1+0{,}2+0{,}2=0{,}5.
Logo |a_{33}|=1>0{,}5=s_3.
Linha 4:
|a_{44}|=1,\qquad s_4=|0{,}1|+|0{,}3|+|0{,}2|=0{,}1+0{,}3+0{,}2=0{,}6.
Logo |a_{44}|=1>0{,}6=s_4.
Concluímos que todas as linhas satisfazem |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|. Ou seja, A é estritamente diagonal dominante por linhas.]

Passo 4

Aplicando o teorema de convergência.
Teorema (suficiente): Se A é estritamente diagonal dominante por linhas, então a iteração de Gauss–Seidel converge para a única solução do sistema linear Ax=b, para qualquer chute inicial x^{(0)}.
Explicação curta e intuitiva do porquê (sem provas longas): diagonal dominante significa que cada variável tem um coeficiente na diagonal que domina a soma dos acoplamentos com as demais variáveis. Ao iterar, as atualizações corrigem os erros de forma contractiva: os termos fora da diagonal são pequenos comparados à diagonal, portanto o operador iterativo diminui o erro a cada passo. Formalmente, a dominância garante que alguma norma subordinada faz com que a norma do operador iterativo G_{GS} seja menor que 1, implicando que \rho(G_{GS})<1 (onde \rho é o raio espectral) e então x^{(k)}\to (I-G_{GS})^{-1}c = A^{-1}b.
Como já verificamos a dominância estrita, por esse teorema temos que a sequência gerada por Gauss–Seidel converge para a solução exata do sistema, independentemente do chute inicial.
No próximo passo encontro explicitamente essa solução exata (para que fique claro qual é o limite).

Passo 5

Encontrar a solução exata do sistema (eliminação e retro-substituição com contas detalhadas).
Escrevendo o sistema e fazendo eliminação:
Matriz aumentada inicial (valores do enunciado):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0{,}5 & -0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}2\\[4pt] 0{,}2 & 1 & -0{,}2 & -0{,}1 & -2{,}6\\[4pt] -0{,}1 & -0{,}2 & 1 & 0{,}2 & 1\\[4pt] 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}2 & 1 & -2{,}5 \end{array}\right]
  1. Eliminar x_1 de linhas 2,3,4 usando a linha 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 0{,}2R_1:
R_2: \;[0,\;0{,}9,\;-0{,}18,\;-0{,}12\;|\;-2{,}64].
  • R_3 \leftarrow R_3 + 0{,}1R_1:
R_3: \;[0,\;-0{,}15,\;0{,}99,\;0{,}21\;|\;1{,}02].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 0{,}1R_1:
R_4: \;[0,\;0{,}25,\;0{,}21,\;0{,}99\;|\;-2{,}52].
  1. Usar R_2 (pivot 0{,}9) para eliminar x_2 de R_3 e R_4.
  • Multiplicador para R_3: m_{32}=-0{,}15/0{,}9=-1/6. Então R_3\leftarrow R_3 +\tfrac{1}{6}R_2 produz:
R_3: \;[0,\;0,\;0{,}96,\;0{,}19\;|\;0{,}58].
  • Multiplicador para R_4: m_{42}=0{,}25/0{,}9=5/18. Então R_4\leftarrow R_4 -\tfrac{5}{18}R_2 produz:
R_4: \;[0,\;0,\;0{,}26,\;1{,}023333\ldots\;|\;-1{,}786666\ldots]
(em frações obtém-se R_3=[0,0,24/25,19/100|29/50] e R_4=[0,0,13/50,307/300|-134/75]).
  1. Eliminar x_3 de R_4 usando R_3 (pivot 24/25). O multiplicador é m= (13/50)/(24/25)=13/48. Fazendo R_4\leftarrow R_4 - m R_3 obtemos:
R_4: \;[0,\;0,\;0,\;311/320\;|\;-311/160].
Isto dá diretamente
\frac{311}{320}x_4 = -\frac{311}{160}\quad\Longrightarrow\quad x_4=-2.
  1. Retro-substituição:
  • Em R_3: \dfrac{24}{25}x_3 + \dfrac{19}{100}x_4 = \dfrac{29}{50}.
    Substituindo x_4=-2:
\frac{24}{25}x_3 + \frac{19}{100}\cdot(-2)=\frac{29}{50}
\frac{24}{25}x_3 - \frac{19}{50} = \frac{29}{50}\quad\Rightarrow\quad \frac{24}{25}x_3=\frac{48}{50}=\frac{24}{25},
portanto x_3=1.
  • Em R_2: \dfrac{9}{10}x_2 -\dfrac{9}{50}x_3 -\dfrac{3}{25}x_4 = -\dfrac{66}{25}.
    Substituindo x_3=1,\;x_4=-2:
\frac{9}{10}x_2 -\frac{9}{50} + \frac{6}{25} = -\frac{66}{25}.
Calculando os termos constantes: -\dfrac{9}{50}+\dfrac{6}{25}=-\dfrac{9}{50}+\dfrac{12}{50}=\dfrac{3}{50}.
Logo
\frac{9}{10}x_2 + \frac{3}{50} = -\frac{66}{25} \quad\Rightarrow\quad \frac{9}{10}x_2 = -\frac{135}{50} = -\frac{27}{10},
portanto x_2=-3.
  • Em R_1: x_1 + 0{,}5 x_2 -0{,}1 x_3 +0{,}1 x_4 = 0{,}2.
    Substituindo x_2=-3,\;x_3=1,\;x_4=-2:
x_1 + 0{,}5(-3) -0{,}1(1) +0{,}1(-2) = 0{,}2
x_1 -1{,}5 -0{,}1 -0{,}2 = 0{,}2 \quad\Rightarrow\quad x_1 -1{,}8 = 0{,}2,
portanto x_1=2.
Portanto a solução exata é
x^\star = \begin{pmatrix}2\\[2pt]-3\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Conclusão final ligando tudo: porque A é estritamente diagonal dominante por linhas (Passo 3), aplicando o teorema do Passo 4 a iteração de Gauss–Seidel converge para a única solução do sistema, que encontramos explicitamente no Passo 5 como
x^\star=\begin{pmatrix}2\\[2pt]-3\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{pmatrix}.
Ou seja, qualquer sequência \{x^{(k)}\} gerada por Gauss–Seidel a partir de qualquer chute inicial converge para esse vetor.
Dica prática para a prova: sempre que o sistema tiver diagonais com valor absoluto estritamente maior que a soma dos demais coeficientes da linha, você pode afirmar rapidamente que Gauss–Seidel (e também Jacobi) convergem; isso evita calcular matrizes de iteração ou autovalores.]

Resposta

\begin{pmatrix}2\\[2pt]-3\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{pmatrix}]

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