Considere o seguinte sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} k x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=1 \\\ k x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=2 \\\ x_{1}+6 x_{2}+7 x_{3}=3 \end{array}\right.
a) Usando o critério de Sassenfeld, verifique para quais valores positivos de k se tem a garantia de que o método de Gauss-Seidel vai gerar uma sequência convergente para a solução do sistema;
b) Escolha o menor inteiro positivo k dentre os encontrados no item anterior e faça duas iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtido;
c) Comente o erro cometido no item anterior.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} k x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=1,\\[4pt] k x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=2,\\[4pt] x_{1}+6 x_{2}+7 x_{3}=3, \end{array}\right.
e pede três coisas:
  • (a) Usar o critério de Sassenfeld para verificar para quais valores positivos de k há garantia de que o método de Gauss–Seidel gera uma sequência convergente para a solução.
  • (b) Escolher o menor inteiro positivo dentre os k encontrados no item (a) e fazer duas iterações do método de Gauss–Seidel para o sistema com esse k.
  • (c) Comentar o erro cometido no item (b) (ou seja, avaliar/interpretar o erro da aproximação obtida após duas iterações).
Informações relevantes dadas:
  • Os coeficientes da matriz A (linhas na ordem dada) são:
    • Linha 1: a_{11}=k,\;a_{12}=3,\;a_{13}=1.
    • Linha 2: a_{21}=k,\;a_{22}=6,\;a_{23}=1.
    • Linha 3: a_{31}=1,\;a_{32}=6,\;a_{33}=7.
  • Queremos analisar apenas k>0 (valores positivos).]

Passo 2

O que é o critério de Sassenfeld e como usá-lo (aula curta):
  • Para uma matriz A associada ao sistema A x=b, com a_{ii}\neq0 para todo i, define-se sequencialmente os números \beta_i por \beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j\ne1}|a_{1j}|, \qquad \beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\Big(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\Big)\\ \text{para }i\ge2.
  • Intuição: \beta_i mede, de forma ponderada, a influência das outras incógnitas sobre x_i quando se faz iteração.
  • Teorema prático: Se \max_i \beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel convergirá para a solução a partir de qualquer chute inicial. Importante: é uma condição suficiente (garante convergência), mas não necessária (se falhar a condição, pode haver convergência mesmo assim).
  • Vamos aplicar essa definição diretamente às linhas do sistema na ordem dada.

Passo 3

Aplicando Sassenfeld ao sistema dado (cálculos passo a passo):
  • Linha 1: a_{11}=k,\;a_{12}=3,\;a_{13}=1. Então \beta_1=\frac{|3|+|1|}{|k|}=\frac{4}{k},já que k>0.
  • Linha 2: a_{22}=6,\;a_{21}=k,\;a_{23}=1. Pelo critério, \beta_2=\frac{|a_{21}|\beta_1+|a_{23}|}{|a_{22}|} =\frac{k\cdot\beta_1+1}{6}.Substituindo \beta_1=4/k obtemos k\cdot(4/k)=4, logo \beta_2=\frac{4+1}{6}=\frac{5}{6}\approx0,8333.Observe que \beta_2 não depende de k.
  • Linha 3: a_{33}=7,\;a_{31}=1,\;a_{32}=6. Então \beta_3=\frac{|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2}{|a_{33}|} =\frac{\beta_1+6\beta_2}{7}.Substituindo \beta_1=4/k e \beta_2=5/6, \beta_3=\frac{4/k + 6\cdot(5/6)}{7}=\frac{4/k +5}{7}=\frac{5+\tfrac{4}{k}}{7}.
  • Agora impomos \max\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}<1. Já temos \beta_2=5/6<1 sempre. As condições restantes são:
    • \beta_1<1 \iff \dfrac{4}{k}<1 \iff k>4.
    • \beta_3<1 \iff \dfrac{5+\tfrac{4}{k}}{7}<1 \iff 5+\dfrac{4}{k}<7 \iff \dfrac{4}{k}<2 \iff k>2.
  • Para k>4 ambas \beta_1<1 e \beta_3<1 são satisfeitas, e já sabemos \beta_2<1. Portanto, para todo k>4 temos \max_i\beta_i<1 e, pelo critério de Sassenfeld, o método de Gauss–Seidel é garantido convergente.
  • Conclusão do item (a): para valores positivos de k com k>4 há garantia de convergência pelo critério de Sassenfeld. (Se 0<k\le4 a condição falha e não há garantia; pode ou não convergir na prática.)

Passo 4

Escolha do menor inteiro positivo k entre os que satisfazem a condição:
  • A condição foi k>4. O menor inteiro positivo que atende é k=5.
  • O sistema para k=5 fica: \left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=1,\\[4pt] 5 x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=2,\\[4pt] x_{1}+6 x_{2}+7 x_{3}=3. \end{array}\right.]

Passo 5

Explicando o método de Gauss–Seidel e escolha do chute inicial:
  • Fórmulas de atualização (para a ordem dada): x_1^{(m+1)}=\frac{1-3x_2^{(m)}-x_3^{(m)}}{5}, \qquad x_2^{(m+1)}=\frac{2-5x_1^{(m+1)}-x_3^{(m)}}{6},
x_3^{(m+1)}=\frac{3-x_1^{(m+1)}-6x_2^{(m+1)}}{7}.
  • Justificativa: Gauss–Seidel usa já as componentes mais recentes (já atualizadas) quando calcula a próxima componente, por isso aparecem x_1^{(m+1)} e x_2^{(m+1)} nas fórmulas seguintes.
  • Chute inicial: vou usar o chute padrão x^{(0)}=(0,0,0) (muito usado em exercícios e suficiente aqui; a garantia de Sassenfeld vale para qualquer chute).

Passo 6

Primeira iteração ( m=0 m+1=1):
  • x_1^{(1)}=\dfrac{1-3\cdot0-0}{5}=\dfrac{1}{5}.
  • x_2^{(1)}=\dfrac{2-5\cdot\dfrac{1}{5}-0}{6}=\dfrac{2-1}{6}=\dfrac{1}{6}.
  • x_3^{(1)}=\dfrac{3-\dfrac{1}{5}-6\cdot\dfrac{1}{6}}{7} =\dfrac{3-\tfrac{1}{5}-1}{7}=\dfrac{\tfrac{9}{5}}{7}=\dfrac{9}{35}.
  • Então x^{(1)}=\left(\dfrac{1}{5},\;\dfrac{1}{6},\;\dfrac{9}{35}\right) \approx(0{,}200000,\;0{,}166667,\;0{,}257143).

Passo 7

Segunda iteração ( m=1 m+1=2):
  • Calcule passo a passo em frações (para exatidão):
    • x_1^{(2)}=\dfrac{1-3\cdot\dfrac{1}{6}-\dfrac{9}{35}}{5}.
      Primeiro 3\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}. Então numerador =1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{9}{35}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{9}{35}=\dfrac{17}{70}.
      Logo x_1^{(2)}=\dfrac{17}{70}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{17}{350}.
    • x_2^{(2)}=\dfrac{2-5\cdot\dfrac{17}{350}-\dfrac{9}{35}}{6}.
      Aqui 5\cdot\dfrac{17}{350}=\dfrac{17}{70} e \dfrac{9}{35}=\dfrac{18}{70}. Soma \dfrac{17}{70}+\dfrac{18}{70}=\dfrac{35}{70}=\dfrac{1}{2}.
      Então numerador =2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}. Assim x_2^{(2)}=\dfrac{3/2}{6}=\dfrac{1}{4}.
    • x_3^{(2)}=\dfrac{3-\dfrac{17}{350}-6\cdot\dfrac{1}{4}}{7}.
      Aqui 6\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{2}. Então numerador =3-\dfrac{17}{350}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{17}{350}=\dfrac{1016}{700}=\dfrac{254}{175}.
      Logo x_3^{(2)}=\dfrac{254/175}{7}=\dfrac{254}{1225}.
  • Assim x^{(2)}=\left(\dfrac{17}{350},\;\dfrac{1}{4},\;\dfrac{254}{1225}\right) \approx(0{,}0485714,\;0{,}250000,\;0{,}2073469).

Passo 8

Cálculo da solução exata para k=5 (para avaliar o erro):
  • Subtraindo a primeira equação da segunda: (5x_1 cancela )\Rightarrow 3x_2=1 \Rightarrow x_2=\dfrac{1}{3}.
  • Usando a primeira equação: 5x_1+3\cdot\dfrac{1}{3}+x_3=1\Rightarrow 5x_1+1+x_3=1\Rightarrow 5x_1+x_3=0\Rightarrow x_3=-5x_1.
  • Substituindo em terceira equação: x_1+6\cdot\dfrac{1}{3}+7(-5x_1)=3\Rightarrow x_1+2-35x_1=3\Rightarrow -34x_1=1\Rightarrow x_1=-\dfrac{1}{34}.
  • Então x_2=\dfrac{1}{3},\quad x_3=-5\cdot\Big(-\dfrac{1}{34}\Big)=\dfrac{5}{34}.
  • Solução exata: x^\ast=\left(-\dfrac{1}{34},\;\dfrac{1}{3},\;\dfrac{5}{34}\right) \approx(-0{,}0294118,\;0{,}3333333,\;0{,}1470588).

Passo 9

Erro cometido no item (b): cálculo e interpretação
  • Erro após duas iterações: e^{(2)}=x^\ast-x^{(2)}.
    Calculando componentes (em aproximação decimal): e^{(2)}\approx\bigl(-0{,}0294118-0{,}0485714,\;0{,}3333333-0{,}2500000,\;0{,}1470588-0{,}2073469\bigr)
e^{(2)}\approx(-0{,}0779832,\;0{,}0833333,\;-0{,}0602881).
  • Norma do erro (norma infinito, maior componente em módulo): \|e^{(2)}\|_\infty=\max\{| -0{,}0779832|,\;|0{,}0833333|,\;| -0{,}0602881|\}\approx0{,}0833333.
  • Interpretação / comentário:
    • Não houve erro conceitual ao escolher k=5: k=5 satisfaz o critério de Sassenfeld ( k>4), logo a convergência do método está garantida. O “erro” a que se refere o item (c) é o erro numérico entre a solução exata e a aproximação obtida com duas iterações.
    • A garantia de Sassenfeld assegura convergência assintótica, mas não dá a velocidade da convergência. Duas iterações são poucas: o erro ainda é da ordem de 8{,}3\times10^{-2} em norma infinito, portanto a aproximação é apenas preliminar.
    • Observação prática: para obter uma aproximação com precisão razoável será preciso iterar mais vezes (ou usar um critério de parada baseado no resíduo ou na norma das diferenças entre iterações). Além disso, o chute inicial também afeta quantas iterações são necessárias.

Resposta

(a) Para todos os k>4 (valores positivos) o critério de Sassenfeld garante convergência do método de Gauss–Seidel.
(b) Para k=5:
x^{(1)}=\displaystyle\left(\dfrac{1}{5},\;\dfrac{1}{6},\;\dfrac{9}{35}\right),
x^{(2)}=\displaystyle\left(\dfrac{17}{350},\;\dfrac{1}{4},\;\dfrac{254}{1225}\right).
(c) Erro após duas iterações: e^{(2)}=x^\ast-x^{(2)}\approx(-0{,}0779832,\;0{,}0833333,\;-0{,}0602881) e \|e^{(2)}\|_\infty\approx0{,}0833333.

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