\left\{\begin{array}{l} k x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=1 \\\ k x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=2 \\\ x_{1}+6 x_{2}+7 x_{3}=3 \end{array}\right.
a) Usando o critério de Sassenfeld, verifique para quais valores positivos de k se tem a garantia de que o método de Gauss-Seidel vai gerar uma sequência convergente para a solução do sistema;
b) Escolha o menor inteiro positivo k dentre os encontrados no item anterior e faça duas iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtido;
c) Comente o erro cometido no item anterior.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} k x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=1,\\[4pt] k x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=2,\\[4pt] x_{1}+6 x_{2}+7 x_{3}=3, \end{array}\right.
e pede três coisas:
(a) Usar o critério de Sassenfeld para verificar para quais valores positivos de k há garantia de que o método de Gauss–Seidel gera uma sequência convergente para a solução.
(b) Escolher o menor inteiro positivo dentre os k encontrados no item (a) e fazer duas iterações do método de Gauss–Seidel para o sistema com esse k.
(c) Comentar o erro cometido no item (b) (ou seja, avaliar/interpretar o erro da aproximação obtida após duas iterações).
Informações relevantes dadas:
Os coeficientes da matriz A (linhas na ordem dada) são:
Linha 1: a_{11}=k,\;a_{12}=3,\;a_{13}=1.
Linha 2: a_{21}=k,\;a_{22}=6,\;a_{23}=1.
Linha 3: a_{31}=1,\;a_{32}=6,\;a_{33}=7.
Queremos analisar apenas k>0 (valores positivos).]
Passo 2
O que é o critério de Sassenfeld e como usá-lo (aula curta):
Para uma matriz A associada ao sistema A x=b, com a_{ii}\neq0 para todo i, define-se sequencialmente os números \beta_i por\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j\ne1}|a_{1j}|, \qquad \beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\Big(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\Big)\\ \text{para }i\ge2.
Intuição: \beta_i mede, de forma ponderada, a influência das outras incógnitas sobre x_i quando se faz iteração.
Teorema prático: Se \max_i \beta_i<1, então o método de Gauss–Seidel convergirá para a solução a partir de qualquer chute inicial. Importante: é uma condição suficiente (garante convergência), mas não necessária (se falhar a condição, pode haver convergência mesmo assim).
Vamos aplicar essa definição diretamente às linhas do sistema na ordem dada.
Passo 3
Aplicando Sassenfeld ao sistema dado (cálculos passo a passo):
Linha 1: a_{11}=k,\;a_{12}=3,\;a_{13}=1. Então\beta_1=\frac{|3|+|1|}{|k|}=\frac{4}{k},já que k>0.
Linha 2: a_{22}=6,\;a_{21}=k,\;a_{23}=1. Pelo critério,\beta_2=\frac{|a_{21}|\beta_1+|a_{23}|}{|a_{22}|} =\frac{k\cdot\beta_1+1}{6}.Substituindo \beta_1=4/k obtemos k\cdot(4/k)=4, logo\beta_2=\frac{4+1}{6}=\frac{5}{6}\approx0,8333.Observe que \beta_2 não depende de k.
Linha 3: a_{33}=7,\;a_{31}=1,\;a_{32}=6. Então\beta_3=\frac{|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2}{|a_{33}|} =\frac{\beta_1+6\beta_2}{7}.Substituindo \beta_1=4/k e \beta_2=5/6,\beta_3=\frac{4/k + 6\cdot(5/6)}{7}=\frac{4/k +5}{7}=\frac{5+\tfrac{4}{k}}{7}.
Agora impomos \max\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}<1. Já temos \beta_2=5/6<1 sempre. As condições restantes são:
Para k>4 ambas \beta_1<1 e \beta_3<1 são satisfeitas, e já sabemos \beta_2<1. Portanto, para todo k>4 temos \max_i\beta_i<1 e, pelo critério de Sassenfeld, o método de Gauss–Seidel é garantido convergente.
Conclusão do item (a): para valores positivos de k com k>4 há garantia de convergência pelo critério de Sassenfeld. (Se 0<k\le4 a condição falha e não há garantia; pode ou não convergir na prática.)
Passo 4
Escolha do menor inteiro positivo k entre os que satisfazem a condição:
A condição foi k>4. O menor inteiro positivo que atende é k=5.
O sistema para k=5 fica:\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=1,\\[4pt] 5 x_{1}+6 x_{2}+x_{3}=2,\\[4pt] x_{1}+6 x_{2}+7 x_{3}=3. \end{array}\right.]
Passo 5
Explicando o método de Gauss–Seidel e escolha do chute inicial:
Fórmulas de atualização (para a ordem dada):x_1^{(m+1)}=\frac{1-3x_2^{(m)}-x_3^{(m)}}{5}, \qquad x_2^{(m+1)}=\frac{2-5x_1^{(m+1)}-x_3^{(m)}}{6},
x_3^{(m+1)}=\frac{3-x_1^{(m+1)}-6x_2^{(m+1)}}{7}.
Justificativa: Gauss–Seidel usa já as componentes mais recentes (já atualizadas) quando calcula a próxima componente, por isso aparecem x_1^{(m+1)} e x_2^{(m+1)} nas fórmulas seguintes.
Chute inicial: vou usar o chute padrão x^{(0)}=(0,0,0) (muito usado em exercícios e suficiente aqui; a garantia de Sassenfeld vale para qualquer chute).
x_1^{(2)}=\dfrac{1-3\cdot\dfrac{1}{6}-\dfrac{9}{35}}{5}.
Primeiro 3\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}. Então numerador =1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{9}{35}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{9}{35}=\dfrac{17}{70}.
Logo x_1^{(2)}=\dfrac{17}{70}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{17}{350}.
x_2^{(2)}=\dfrac{2-5\cdot\dfrac{17}{350}-\dfrac{9}{35}}{6}.
Aqui 5\cdot\dfrac{17}{350}=\dfrac{17}{70} e \dfrac{9}{35}=\dfrac{18}{70}. Soma \dfrac{17}{70}+\dfrac{18}{70}=\dfrac{35}{70}=\dfrac{1}{2}.
Então numerador =2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}. Assim x_2^{(2)}=\dfrac{3/2}{6}=\dfrac{1}{4}.
x_3^{(2)}=\dfrac{3-\dfrac{17}{350}-6\cdot\dfrac{1}{4}}{7}.
Aqui 6\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{2}. Então numerador =3-\dfrac{17}{350}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{17}{350}=\dfrac{1016}{700}=\dfrac{254}{175}.
Logo x_3^{(2)}=\dfrac{254/175}{7}=\dfrac{254}{1225}.
Erro cometido no item (b): cálculo e interpretação
Erro após duas iterações: e^{(2)}=x^\ast-x^{(2)}.
Calculando componentes (em aproximação decimal):e^{(2)}\approx\bigl(-0{,}0294118-0{,}0485714,\;0{,}3333333-0{,}2500000,\;0{,}1470588-0{,}2073469\bigr)
Norma do erro (norma infinito, maior componente em módulo):\|e^{(2)}\|_\infty=\max\{| -0{,}0779832|,\;|0{,}0833333|,\;| -0{,}0602881|\}\approx0{,}0833333.
Interpretação / comentário:
Não houve erro conceitual ao escolher k=5: k=5 satisfaz o critério de Sassenfeld (k>4), logo a convergência do método está garantida. O “erro” a que se refere o item (c) é o erro numérico entre a solução exata e a aproximação obtida com duas iterações.
A garantia de Sassenfeld assegura convergência assintótica, mas não dá a velocidade da convergência. Duas iterações são poucas: o erro ainda é da ordem de 8{,}3\times10^{-2} em norma infinito, portanto a aproximação é apenas preliminar.
Observação prática: para obter uma aproximação com precisão razoável será preciso iterar mais vezes (ou usar um critério de parada baseado no resíduo ou na norma das diferenças entre iterações). Além disso, o chute inicial também afeta quantas iterações são necessárias.
Resposta
(a) Para todos os k>4 (valores positivos) o critério de Sassenfeld garante convergência do método de Gauss–Seidel.
(b) Para k=5: x^{(1)}=\displaystyle\left(\dfrac{1}{5},\;\dfrac{1}{6},\;\dfrac{9}{35}\right), x^{(2)}=\displaystyle\left(\dfrac{17}{350},\;\dfrac{1}{4},\;\dfrac{254}{1225}\right).
(c) Erro após duas iterações: e^{(2)}=x^\ast-x^{(2)}\approx(-0{,}0779832,\;0{,}0833333,\;-0{,}0602881) e \|e^{(2)}\|_\infty\approx0{,}0833333.