(
Questão-2,0 pontos)
DATA: 15/09/2025
Calcule a integral
, onde C é a parte da circunferência unitária
, percorrida no sentido anti-horário.
Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é a semicircunferência direita do círculo unitário
(isto é, com
), percorrida de baixo para cima (sentido anti-horário). Vamos usar parametrização em termos do ângulo
.
Passo 2
Parametrizamos a semicircunferência por
com
variando de
até
para cobrir o ramo direito do ponto
até
. Em seguida,
logo o elemento de comprimento de arco é
Passo 3
Substituindo na integral, temos
Passo 4
Separamos a integral em duas partes:
A primeira é imediata:
Passo 5
Para a segunda, note que a função
é ímpar, pois
(par) e
(ímpar), logo o produto é ímpar. Integrando uma função ímpar em intervalo simétrico, obtemos zero:
Passo 6
Somando as duas partes, a integral total é