( 1{ }^{\text {a }} Questão-2,0 pontos) \qquad DATA: 15/09/2025
Calcule a integral \int\left(2+x^{2} y\right) d s, onde C é a parte da circunferência unitária x^{2}+y^{2}=1(x \geq 0), percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\bigl(2 + x^{2}y\bigr)\,ds
onde C é a semicircunferência direita do círculo unitário x^{2}+y^{2}=1 (isto é, com x\ge0), percorrida de baixo para cima (sentido anti-horário). Vamos usar parametrização em termos do ângulo \,t.

Passo 2

Parametrizamos a semicircunferência por
x(t)=\cos t,\quad y(t)=\sin t,
com t variando de -\tfrac{\pi}{2} até \tfrac{\pi}{2} para cobrir o ramo direito do ponto (0,-1) até (0,1). Em seguida,
\frac{dx}{dt}=-\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=\cos t,
logo o elemento de comprimento de arco é
ds = \sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^{2}}\,dt = \sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}\,dt =dt.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{C}\bigl(2+x^{2}y\bigr)\,ds = \int_{t=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \bigl(2 + \cos^{2}t\;\sin t\bigr)\,dt.

Passo 4

Separamos a integral em duas partes:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\,dt \quad\text{e}\quad \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}t\;\sin t\,dt.
A primeira é imediata:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\,dt =2\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-(-\tfrac{\pi}{2})\Bigr) =2\pi.

Passo 5

Para a segunda, note que a função \cos^{2}t\sin t é ímpar, pois \cos^{2}(-t)=\cos^{2}t (par) e \sin(-t)=-\sin t (ímpar), logo o produto é ímpar. Integrando uma função ímpar em intervalo simétrico, obtemos zero:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}t\;\sin t\,dt=0.

Passo 6

Somando as duas partes, a integral total é
2\pi + 0 = 2\pi.

Resposta

2\pi

Exercícios relacionados